Mostre, fazendo uso do TVI, que:
A função f(x)=x^5+3 x^4+x^2-x-3 possui três raízes: uma no intervalo (-4,-3), outra no intervalo (-1,0) e a outra no intervalo (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) na função
f(x)=x^5+3x^4+x^2-x-3
que é um polinômio, portanto contínuo em R. Pelo TVI, se f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe ao menos uma raiz em (a,b). Vamos calcular f em pontos-chave para mostrar as três mudanças de sinal.

Passo 2

Calculamos f(-4) e f(-3):
f(-4)=(-4)^5+3(-4)^4+(-4)^2-(-4)-3=-1024+768+16+4-3=-239
f(-3)=(-3)^5+3(-3)^4+(-3)^2-(-3)-3=-243+243+9+3-3=9
Como f(-4)=-239<0 e f(-3)=9>0, pelo TVI existe ao menos uma raiz em (-4,-3).

Passo 3

Calculamos f(-1) e f(0):
f(-1)=(-1)^5+3(-1)^4+(-1)^2-(-1)-3=-1+3+1+1-3=1
f(0)=0^5+3cdot0^4+0^2-0-3=-3
Aqui f(-1)=1>0 e f(0)=-3<0, logo há pelo menos uma raiz em (-1,0).

Passo 4

Calculamos f(1):
f(1)=1^5+3cdot1^4+1^2-1-3=1+3+1-1-3=1
Vimos que f(0)=-3<0 e agora f(1)=1>0, portanto surge pelo TVI ao menos uma raiz em (0,1).

Resposta

Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, a função f tem uma raiz em cada um dos intervalos (-4,-3), (-1,0) e (0,1).

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