Q 50 É verdade que:
(a) Se
é ma função qualquer e
, então o
?
(b) Se
é ma função qualquer e
, então o
existe?
(c) Se
é ma função limitada em torno de
e
existe, então o
também existe?
(a) Se
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado pergunta sobre quando podemos garantir a existência (ou o valor) de
a partir de informações sobre
e
. O conteúdo é propriedades de limites, em particular o limite do produto. Vamos analisar cada afirmação buscando contraexemplos ou argumentos que mostrem se são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Analisando (a): “Se
é qualquer função e
, então
”. Para que isso valha sempre precisaríamos controlar o crescimento de
. Mas se
explodir ao redor de
, o produto pode não ir a zero. Por exemplo, tome
,
Então
, mas
cujo limite quando
é
. Logo (a) é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Se
é qualquer função e
, então
existe”. No mesmo espírito de (a), podemos encontrar caso em que o produto sequer tem limite. Por exemplo, de novo em
, defina
Temos
, mas
oscila entre
e
sem convergir. Logo o limite não existe, e (b) é falsa.
Passo 4
Analisando (c): “Se
é limitada em torno de
e
existe, então
também existe”. Aqui
estar apenas limitada não garante que ela tenha limite. Se
, o produto herdará as oscilações de
. Por exemplo, em
, escolha
Então
é claramente limitada, e
. Mas
não tem limite quando
. Portanto (c) é falsa.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.