Q 50 É verdade que:
(a) Se f(x) é ma função qualquer e lim x a g(x)=0, então o lim x a f(x) cdot g(x)=0 ?
(b) Se f(x) é ma função qualquer e lim x a g(x)=0, então o lim x a f(x) cdot g(x) existe?
(c) Se f(x) é ma função limitada em torno de a e lim x a g(x) existe, então o lim x a f(x) cdot g(x) também existe?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre quando podemos garantir a existência (ou o valor) de limxto af(x),g(x) a partir de informações sobre f e g. O conteúdo é propriedades de limites, em particular o limite do produto. Vamos analisar cada afirmação buscando contraexemplos ou argumentos que mostrem se são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Analisando (a): “Se f(x) é qualquer função e limxto ag(x)=0, então limxto af(x),g(x)=0”. Para que isso valha sempre precisaríamos controlar o crescimento de f. Mas se f explodir ao redor de a, o produto pode não ir a zero. Por exemplo, tome a=0,
f(x)=1x, g(x)=x
Então limxto0g(x)=0, mas
f(x),g(x)=1xcdot x=1,
cujo limite quando xto0 é 1neq0. Logo (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Se f(x) é qualquer função e limxto ag(x)=0, então limxto af(x),g(x) existe”. No mesmo espírito de (a), podemos encontrar caso em que o produto sequer tem limite. Por exemplo, de novo em a=0, defina
f(x)=sin(1/x^2)x, g(x)=x
Temos limxto0g(x)=0, mas
f(x),g(x)=sinl(1/x^2r)
oscila entre -1 e 1 sem convergir. Logo o limite não existe, e (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): “Se f(x) é limitada em torno de a e limxto ag(x) existe, então limxto af(x),g(x) também existe”. Aqui f estar apenas limitada não garante que ela tenha limite. Se g(x)to Lneq0, o produto herdará as oscilações de f. Por exemplo, em a=0, escolha
f(x)=sinl(1/xr), g(x)=1
Então f é claramente limitada, e limxto0g(x)=1. Mas
f(x),g(x)=sinl(1/xr)
não tem limite quando xto0. Portanto (c) é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.

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