Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido Omega nos seguintes casos:
Omega é interior à esfera x^2+y^2+z^2=4 y, limitado superiormente pelo cone x^2+z^2=y^2;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido Omega que é interno à esfera
x^2+y^2+z^2=4y
e está limitado superiormente pelo cone
x^2+z^2=y^2
O conteúdo é mudar para coordenadas esféricas (origem em O), onde
x = rhosinphicostheta, y = rhocosphi, z = rhosinphisintheta
e o volume elementar é rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Na esfera x^2+y^2+z^2=4y substituímos
rho^2 = 4,rhocosphi
(o que exige cosphi>=0), daí o limite em rho é
rho = 4cosphi

Passo 3

No cone x^2+z^2=y^2 temos
rho^2sin^2phi = rho^2cos^2phi Longrightarrow tan^2phi = 1 Longrightarrow phi = pi4
Como o cone limita superiormente, Omega fica na região “acima” do cone, isto é phiin[0,pi/4].

Passo 4

Logo, os limites de integração são
thetain[0,2pi], phiin[0,pi/4], rhoin[0,4cosphi].
O volume é
V = integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^4cosphi rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta
Fazendo a integral em rho:
integral0^4cosphirho^2,drho =l(4cosphir)^33 =64cos^3phi3

Passo 5

Fica então
V = integral0^2pidtheta, integral0^pi/464cos^3phi3,sinphi,dphi = 128pi3 integral0^pi/4cos^3phi,sinphi,dphi
Para a integral em phi usamos u=cosphi, du=-sinphi,dphi, de phi=0 ( u=1) a phi=pi/4 ( u=1/raiz2):
integral0^pi/4cos^3phi,sinphi,dphi =integral1^,1/raiz2u^3(-du) =integral1/raiz2^1u^3du =[u^44]1/raiz2^1 =14l(1-tfrac14r) =316

Passo 6

Substituindo,
V = 128pi3cdot316 = 8pi

Resposta

8pi

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