Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido
nos seguintes casos:
é interior à esfera
, limitado superiormente pelo cone
;
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que é interno à esfera
e está limitado superiormente pelo cone
O conteúdo é mudar para coordenadas esféricas (origem em
), onde
e o volume elementar é
.
Passo 2
Na esfera
substituímos
(o que exige
), daí o limite em
é
Passo 3
No cone
temos
Como o cone limita superiormente,
fica na região “acima” do cone, isto é
.
Passo 4
Logo, os limites de integração são
,
,
.
O volume é
O volume é
Fazendo a integral em
:
Passo 5
Fica então
Para a integral em
usamos
,
, de
(
) a
(
):
Passo 6
Substituindo,