Suponha que a equação F(x, y)=0 abaixo define, em cada caso, y como função de x. Calcule y^prime.
(a) F(x, y)=x^3+y^3-8

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
F(x,y)=x^3+y^3-8=0
e pede y', ou seja, dfracdydx. O conteúdo aqui é derivação implícita e uso da regra da cadeia, pois y é função de x.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
x^3+y^3-8=0
em relação a x:
ddxl(x^3r)+ddxl(y^3r)-ddx(8)=0

Passo 3

Calculando cada derivada:
ddx(x^3)=3x^2, ddx(y^3)=3y^2dydx, ddx(8)=0
Logo a equação fica
3x^2+3y^2dydx=0

Passo 4

Isolamos dfracdydx:
3y^2dydx=-3x^2 Longrightarrow dydx=-3x^23y^2=-x^2y^2

Resposta

y'=-x^2y^2

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