Q 52 Calcule os seguintes limites envolvendo o limite fundamental exponencial.
lim x +infty(x+1x-1)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(x+1x-1r)^x,
que é um caso de limite fundamental exponencial do tipo lim (1+un)^vn. Vamos usar o fato de que, se unto0 e vn unto L, então (1+un)^vnto e^L.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o coeficiente dentro da potência como soma de 1 mais uma pequena fração:
x+1x-1 ;=;1+2x-1
Logo queremos
l(1+2x-1r)^x

Passo 3

Note que x=(x-1)+1, então
l(1+2x-1r)^x =l(1+2x-1r)^,x-1;cdot;l(1+2x-1r)
Aqui o primeiro fator está no formato clássico (1+2/(x-1))^x-1 e o segundo tende a 1.

Passo 4

Pelo limite fundamental exponencial temos
limxto+inftyl(1+2x-1r)^x-1=e^2,
e claramente
limxto+inftyl(1+2x-1r)=1
Multiplicando os resultados, o limite total é e^2.

Resposta

e^2

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