Q 53 Calcule os seguintes limites envolvendo o limite fundamental logarítmico.
lim h 0 3^x+h-3^xh

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limhto03^x+h-3^xh
Este é exatamente o processo de definição da derivada da função f(x)=3^x pelo limite. Para resolver precisamos usar o limite fundamental que diz
limtto0a^t-1t=ln(a),
além da propriedade da exponenciação que permite fatorar 3^x.

Passo 2

Para simplificar a expressão, fatoramos 3^x em 3^x+h=3^xcdot3^h. Logo,
3^x+h-3^xh =3^xl(3^h-1r)h =3^x;3^h-1h

Passo 3

Agora aplicamos o limite fundamental ao fator 3^h-1h. Uma forma de ver isso é escrever 3^h=e^hln3 e usar
limhto0e^hln3-1h =limhto0e^hln3-1hln3cdotln3 =1cdotln3 =ln3

Passo 4

Voltando à expressão com o fator 3^x, temos
limhto03^x;3^h-1h =3^x;limhto03^h-1h =3^xln3

Resposta

limhto03^x+h-3^xh=3^xln3

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