Sejam (E,||E) e (F,||F) espaços vetoriais reais normados. Seja T: E F uma aplicação linear. (Lembrando que T é uma aplicação linear se T(x+y)=T(x)+T(y), para todo x, y in E, e T(alpha x)=alpha T(x), para todo x in E e alpha in R ).
i) Mostre que T é contínua se, e somente se, existe C>0 tal que |T(x)|F <= C|x|E, para todo x in E.
ii) Denotemos por B(E, F) o conjunto de todas as aplicações lineares contínuas de E em F. Mostre que B(E, F) é um espaço vetorial normado com as operações de soma e multiplicação por escalar usuais e com a norma dada por
|T|B(E, F)=sup |x|E=1|T(x)|F
(Em particular, verifique que a função acima define uma norma)
iii) Seja ||tildeE: E [0, infty[ uma segunda norma para E. Suponha que as métricas d(x, y)=|x-y|E e tilded(x, y)=|x-y|tildeE são equivalentes em E. Mostre que existem constantes c1 e c2>0 tais que
c1|x|tildeE <=|x|E <= c2|x|tildeE
iv) Seja E:=C^1([0,1], R) o conjunto de todas as funções f:[0,1] R contínuas e com derivadas contínuas e F:=C([0,1], R) o conjunto de todas as funções f:[0,1] R contínuas. Consideremos as normas em E e em F definidas como
|f|E:=(sup t in[0,1]|f(t)|+sup t in[0,1]|d fd t(t)|) e |f|F:=sup t in[0,1]|f(t)|
Mostre que (T(f))(t)=d fd t(t) define um operador linear contínuo de E em F.

Passo 1

O enunciado trata de aplicações lineares entre espaços vetoriais normados l(E,||Er) e l(F,||Fr). Precisamos usar a definição de continuidade em termos de norma, a propriedade de linearidade para escalar desigualdades, a noção de norma de operador e a equivalência de métricas para mostrar que normas dadas são equivalentes. No item iv) aplicaremos tudo isso ao operador derivada em C^1([0,1]).

Passo 2

Queremos provar que T é contínua em E se, e somente se, existe C>0 tal que
|T(x)|F<= C,|x|E forall xin E
Rightarrow” Suponha T contínua em 0. Então existe de<a>0 tal que
|x|E<de<aimplies|T(x)|F<1. Para xneq0 defina
y=de<a2|x|E,x,
então |y|E=de<a/2<de<a e assim |T(y)|F<1. Mas
T(y)=de<a2|x|E,T(x) Longrightarrow |T(x)|F =2|x|Ede<a,|T(y)|F <=2de<a,|x|E
Logo basta tomar C=2/de<a. “ Leftarrow” Se existe C>0 com
|T(x)|<= C|x|, então para dado varepsilon>0, basta escolher
de<a=varepsilon/C para que |x|<de<aimplies|T(x)|<varepsilon. Isso mostra continuidade em 0 e, por linearidade, em todo x.

Passo 3

Definamos em B(E,F) a soma (T+S)(x)=T(x)+S(x) e (alpha T)(x)=alpha,T(x). Como soma e escalar de lineares contínuas é linear contínua, B(E,F) é espaço vetorial. Definimos
|T|B(E,F)=sup|x|E=1|T(x)|F
  1. Se Tneq0 então existe x com |x|=1 e |T(x)|>0, logo |T|>0.
  2. Para alphainR vale
    |alpha T| =sup|x|=1|alpha T(x)| =|alpha|sup|x|=1|T(x)| =|alpha|,|T|.
  3. Para T,Sin B(E,F) e |x|=1 tem
    |(T+S)(x)|<=|T(x)|+|S(x)|<=|T|+|S|,
    logo |T+S|<=|T|+|S|.
    Portanto ||B(E,F) satisfaz as três propriedades de norma.

Passo 4

Se as métricas d(x,y)=|x-y|E e tilde d(x,y)=|x-y|tilde E são equivalentes, a identidade
id:(E,||tilde E)to(E,||E) e sua inversa são contínuas lineares. Pelo item i) isso implica que existem constantes c2>0 e c1>0 tais que para todo x
|x|E <= c2,|x|tilde E, |x|tilde E <= c1^-1,|x|E
Bastou renomear c1=1/c1^-1 para obter
c1,|x|tilde E<=|x|E<= c2,|x|tilde E

Passo 5

No espaço E=C^1([0,1],R) com norma
|f|E=sup|f|+sup|f'| e em F=C([0,1],R) com |f|F=sup|f|
definimos T(f)=f'. Claramente T é linear. Além disso, para todo f:
|T(f)|F =suptin[0,1]|f'(t)| <=supt|f(t)|+supt|f'(t)| =|f|E
Logo T é limitado com constante C=1 e, pelo item i), contínuo.

Resposta

i) T é contínua em E se, e somente se, existe C>0 tal que
|T(x)|F<= C,|x|E para todo x.
ii) B(E,F) é espaço vetorial e
|T|B(E,F)=sup|x|E=1|T(x)|F
é norma (positividade, homogeneidade e desigualdade triangular).
iii) Métricas equivalentes em E implicam que as normas são equivalentes, i.e. existem c1,c2>0 com
c1|x|tildeE<=|x|E<= c2|x|tildeE
iv) No caso E=C^1([0,1]), F=C([0,1]) e T(f)=f', temos
|T(f)|F<=|f|E, logo T é linear e contínuo.

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