Sejam e espaços vetoriais reais normados. Seja uma aplicação linear. (Lembrando que é uma aplicação linear se , para todo , e , para todo e ).
i) Mostre que é contínua se, e somente se, existe tal que , para todo .
ii) Denotemos por o conjunto de todas as aplicações lineares contínuas de em . Mostre que é um espaço vetorial normado com as operações de soma e multiplicação por escalar usuais e com a norma dada por
(Em particular, verifique que a função acima define uma norma)
iii) Seja uma segunda norma para . Suponha que as métricas são equivalentes em . Mostre que existem constantes e tais que
iv) Seja o conjunto de todas as funções contínuas e com derivadas contínuas e o conjunto de todas as funções contínuas. Consideremos as normas em e em definidas como
Mostre que (T(f))(t)=d fd t(t) define um operador linear contínuo de E em F.
Passo 1
O enunciado trata de aplicações lineares entre espaços vetoriais normados l(E,||Er) e l(F,||Fr). Precisamos usar a definição de continuidade em termos de norma, a propriedade de linearidade para escalar desigualdades, a noção de norma de operador e a equivalência de métricas para mostrar que normas dadas são equivalentes. No item iv) aplicaremos tudo isso ao operador derivada em C^1([0,1]).
Passo 2
Queremos provar que T é contínua em E se, e somente se, existe C>0 tal que
|T(x)|F<= C,|x|E forall xin E
“Rightarrow” Suponha T contínua em 0. Então existe de<a>0 tal que |x|E<de<aimplies|T(x)|F<1. Para xneq0 defina
Logo basta tomar C=2/de<a. “Leftarrow” Se existe C>0 com |T(x)|<= C|x|, então para dado varepsilon>0, basta escolher de<a=varepsilon/C para que |x|<de<aimplies|T(x)|<varepsilon. Isso mostra continuidade em 0 e, por linearidade, em todo x.
Passo 3
Definamos em B(E,F) a soma (T+S)(x)=T(x)+S(x) e (alpha T)(x)=alpha,T(x). Como soma e escalar de lineares contínuas é linear contínua, B(E,F) é espaço vetorial. Definimos
|T|B(E,F)=sup|x|E=1|T(x)|F
Se Tneq0 então existe x com |x|=1 e |T(x)|>0, logo |T|>0.
Para alphainR vale |alpha T| =sup|x|=1|alpha T(x)| =|alpha|sup|x|=1|T(x)| =|alpha|,|T|.
Para T,Sin B(E,F) e |x|=1 tem |(T+S)(x)|<=|T(x)|+|S(x)|<=|T|+|S|,
logo |T+S|<=|T|+|S|.
Portanto ||B(E,F) satisfaz as três propriedades de norma.
Passo 4
Se as métricas d(x,y)=|x-y|E e tilde d(x,y)=|x-y|tilde E são equivalentes, a identidade id:(E,||tilde E)to(E,||E) e sua inversa são contínuas lineares. Pelo item i) isso implica que existem constantes c2>0 e c1>0 tais que para todo x
|x|E <= c2,|x|tilde E, |x|tilde E <= c1^-1,|x|E
Bastou renomear c1=1/c1^-1 para obter
c1,|x|tilde E<=|x|E<= c2,|x|tilde E
Passo 5
No espaço E=C^1([0,1],R) com norma |f|E=sup|f|+sup|f'| e em F=C([0,1],R) com |f|F=sup|f|
definimos T(f)=f'. Claramente T é linear. Além disso, para todo f:
Logo T é limitado com constante C=1 e, pelo item i), contínuo.
Resposta
i) T é contínua em E se, e somente se, existe C>0 tal que |T(x)|F<= C,|x|E para todo x.
ii) B(E,F) é espaço vetorial e
|T|B(E,F)=sup|x|E=1|T(x)|F
é norma (positividade, homogeneidade e desigualdade triangular).
iii) Métricas equivalentes em E implicam que as normas são equivalentes, i.e. existem c1,c2>0 com
c1|x|tildeE<=|x|E<= c2|x|tildeE
iv) No caso E=C^1([0,1]), F=C([0,1]) e T(f)=f', temos |T(f)|F<=|f|E, logo T é linear e contínuo.