Q. 6 (1,0 (extra)). Use o teorema do sanduíche para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto). O conteúdo envolve limites e desigualdades trigonométricas básicas. Vamos precisar da desigualdade geométrica
além de manipular essas desigualdades para encaixar no formato de “função menor
nossa função
função maior” cujo limite dos extremos coincida.
Passo 2
Para
é um resultado clássico de geometria que
Aqui
. Essa desigualdade é obtida comparando áreas de setores e triângulos num círculo de raio
.
Passo 3
Da desigualdade
podemos dividir todos os termos por
e, em seguida, multiplicar pela constante positiva
, obtendo
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema do Sanduíche: sabemos que
Como
e os limites dos “pedaços” extremo são ambos
, segue
Passo 5
Para
usamos que
é função ímpar, ou seja
. Logo
e isso mostra que o limite pela esquerda é o mesmo do pela direita. Portanto o limite bidirecional existe e vale
.