Q. 6 (1,0 (extra)). Use o teorema do sanduíche para mostrar que lim x 0 sen(x)x=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto0sen(x)x=1
usando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto). O conteúdo envolve limites e desigualdades trigonométricas básicas. Vamos precisar da desigualdade geométrica
sin(x)<x<tan(x)para 0<x<pi2,
além de manipular essas desigualdades para encaixar no formato de “função menor <= nossa função <= função maior” cujo limite dos extremos coincida.

Passo 2

Para 0<x<tfracpi2 é um resultado clássico de geometria que
sin(x)<x<tan(x)
Aqui tan(x)=dfracsin(x)cos(x). Essa desigualdade é obtida comparando áreas de setores e triângulos num círculo de raio 1.

Passo 3

Da desigualdade
sin(x)<x<sin(x)cos(x)
podemos dividir todos os termos por x>0 e, em seguida, multiplicar pela constante positiva cos(x), obtendo
cos(x)<sin(x)x<1

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema do Sanduíche: sabemos que
limxto0^+cos(x)=1 e limxto0^+1=1
Como
cos(x)<=sin(x)x<=1
e os limites dos “pedaços” extremo são ambos 1, segue
limxto0^+sin(x)x=1

Passo 5

Para x<0 usamos que sin é função ímpar, ou seja sin(-x)=-sin(x). Logo
sin(x)x =-sin(-x)-x =sin(-x)-x,
e isso mostra que o limite pela esquerda é o mesmo do pela direita. Portanto o limite bidirecional existe e vale 1.

Resposta

limxto0sen(x)x=1

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