(1,0) Seja V um espaço vetorial.
(a) Mostre que se v1, ldots, vr gera V e w1, ldots, ws subset V é linearmente independente então s <= r.
Considere dim V=n e S subset V. A partir do item (a) conclua que:
(b) Se S tem mais de n vetores então S é linearmente dependente.
(c) Se S é linearmente independente e tem n vetores então S é uma base de V.
(d) Se S gera V e tem n vetores então S é uma base de V.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço vetorial V e pede primeiro que provemos que, se v1,dots,vr gera V e w1,dots,wssubset V é linearmente independente, então s<= r. Este resultado é conhecido como Lema de Troca de Steinitz. A partir dele, usando dim V=n, devemos concluir:
(b) todo conjunto com mais de n vetores é dependente;
(c) todo conjunto independente com n vetores é base;
(d) todo conjunto gerador com n vetores é base.

Passo 2

Prova do item (a) (Lema de Troca) por indução em s:
Base s=0 é óbvia.
Suponha o lema verdadeiro para s-1 e considere w1,dots,ws independentes e v1,dots,vr geradora de V. Como vi gera, existe expressão
w1=sumi=1^raivi,
com algum akneq 0. Então podemos isolar
vk=1akl(w1-sumineq kaivir),
que mostra que o conjunto
w1,v1,dots,vk-1,vk+1,dots,vr
ainda gera V. Esse novo conjunto tem r vetores, dos quais já incluímos w1. Agora aplicamos a hipótese de indução ao gerador de tamanho r e à parte independente w2,dots,ws, obtendo s-1<= r-1. Logo s<= r.

Passo 3

Demonstração de (b). Seja Ssubset V com mais de n vetores. Escolha uma base de V com n vetores, que gera V. Pelo item (a), qualquer conjunto independente em V tem cardinalidade <= n. Como lvert Srvert>n, não pode ser independente, ou seja, S é linearmente dependente.

Passo 4

Demonstração de (c). Seja linearmente independente e . Se não gerasse , poderíamos encontrar um e então seria conjunto independente com vetores, contradizendo (b). Portanto gera e, por já ser independente, é base de .

Passo 5

Demonstração de (d). Seja Ssubset V gerador e lvert Srvert=n. Se S fosse dependente, existir-ia vetor redundante que poderíamos remover sem perder a propriedade de gerar, produzindo um gerador com n-1 vetores, o que contradiria (b) já que todo gerador tem >= n vetores. Logo S é independente e, por gerar, é base de V.

Resposta

(a) Demonstrado pelo Lema de Troca: s<= r.
(b) Se lvert Srvert>n então S é linearmente dependente.
(c) Se S é independente e lvert Srvert=n então S é base de V.
(d) Se S gera V e lvert Srvert=n então S é base de V.

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