(1,0) Seja
um espaço vetorial.
(a) Mostre que se
gera
e
é linearmente independente então
.
Considere
e
. A partir do item (a) conclua que:
(b) Se
tem mais de
vetores então
é linearmente dependente.
(c) Se
é linearmente independente e tem
vetores então
é uma base de
.
(d) Se
gera
e tem
vetores então
é uma base de
.
(a) Mostre que se
Considere
(b) Se
(c) Se
(d) Se
Passo 1
O enunciado trata de um espaço vetorial
e pede primeiro que provemos que, se
gera
e
é linearmente independente, então
. Este resultado é conhecido como Lema de Troca de Steinitz. A partir dele, usando
, devemos concluir:
(b) todo conjunto com mais de vetores é dependente;
(c) todo conjunto independente com vetores é base;
(d) todo conjunto gerador com vetores é base.
(b) todo conjunto com mais de
(c) todo conjunto independente com
(d) todo conjunto gerador com
Passo 2
Prova do item (a) (Lema de Troca) por indução em
:
Base é óbvia.
Suponha o lema verdadeiro para e considere
independentes e
geradora de
. Como
gera, existe expressão
Base
Suponha o lema verdadeiro para
com algum
. Então podemos isolar
que mostra que o conjunto
ainda gera
. Esse novo conjunto tem
vetores, dos quais já incluímos
. Agora aplicamos a hipótese de indução ao gerador de tamanho
e à parte independente
, obtendo
. Logo
.
Passo 3
Demonstração de (b). Seja
com mais de
vetores. Escolha uma base de
com
vetores, que gera
. Pelo item (a), qualquer conjunto independente em
tem cardinalidade
. Como
, não pode ser independente, ou seja,
é linearmente dependente.
Passo 4
Demonstração de (c). Seja
linearmente independente e
. Se
não gerasse
, poderíamos encontrar um e então
seria conjunto independente com
vetores, contradizendo (b). Portanto
gera
e, por já ser independente, é base de
.
Passo 5
Demonstração de (d). Seja
gerador e
. Se
fosse dependente, existir-ia vetor redundante que poderíamos remover sem perder a propriedade de gerar, produzindo um gerador com
vetores, o que contradiria (b) já que todo gerador tem
vetores. Logo
é independente e, por gerar, é base de
.
Resposta
(a) Demonstrado pelo Lema de Troca:
.
(b) Se então
é linearmente dependente.
(c) Se é independente e
então
é base de
.
(d) Se gera
e
então
é base de
.
(b) Se
(c) Se
(d) Se