Q.3: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista.
Não utilize a regra de L’Hôpital! Porém, utilize as propriedades de limites, os limites fundamentais e teoremas para justificar suas respostas.
lim x 0(sen(5 x)x)^2 x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0(sin(5x)x)^2x
sem usar L’Hôpital, apenas propriedades de limites, o limite fundamental sin u/uto1 e teoremas de exponencial e logaritmo.

Passo 2

Definimos
y(x)=l(sen(5x)xr)^2x
Como a exponencial é contínua, escrevemos
y(x)=exp!l(2xlnl(tfracsen(5x)xr)r)
Logo basta encontrar limxto02xlnl(tfracsen(5x)xr).

Passo 3

Reescrevemos a parte interna do logaritmo usando
sen(5x)x =5cdotsen(5x)5x,
portanto
lnl(tfracsen(5x)xr) =ln5+lnl(tfracsen(5x)5xr)

Passo 4

Pelo limite fundamental, limxto0sen(5x)5x=1, então
limxto0lnl(tfracsen(5x)5xr)=0
Assim
limxto02xlnl(tfracsen(5x)xr) =limxto0l(2xln5+2xln(tfracsen(5x)5x)r) =0+0=0

Passo 5

Como o expoente de exp tende a zero, pela continuidade da exponencial
limxto0y(x) =exp(0)=1

Resposta

O valor do limite é 1.

Exercícios relacionados