Resolva cada inequação abaixo e represente seu conjunto solução no círculo trigonométrico:
sec ^2 x>43

Passo 1

A inequação dada é
sec^2x>43.
Isso faz parte do conteúdo de funções trigonométricas e suas identidades. Para resolver, vamos usar a relação
sec^2x=1cos^2x
e lembrar que sec x só está definida quando cos xneq0.

Passo 2

Começamos trocando sec^2x por 1/cos^2x:
1cos^2x>43
Como cos^2x>0 sempre que sec x existe, podemos multiplicar ambos os lados por cos^2x sem inverter o sinal:
1>43,cos^2x Longrightarrow cos^2x<34

Passo 3

A desigualdade cos^2x<tfrac34 é equivalente a
|cos x|<raiz32
Em outras palavras, na circunferência trigonométrica queremos todos os pontos cujo abscissa (valor de cos x) esteja estritamente entre -tfracraiz32 e tfracraiz32.

Passo 4

Agora identificamos no círculo unitário os arcos onde |cos x|>=raiz32 — que são precisamente os ângulos próximos a 0 e a pi com amplitude pi/6:
  • cos x>=raiz32 em [-tfracpi6+2kpi,;tfracpi6+2kpi],
  • cos x<=-raiz32 em [;pi-tfracpi6+2kpi,;pi+tfracpi6+2kpi].
    Devemos excluir esses trechos e ficar com o complemento, ou seja,
xinl(tfracpi6+2kpi,;tfrac5pi6+2kpir) ;cup; l(tfrac7pi6+2kpi,;tfrac11pi6+2kpir), kinZ

Passo 5

Na circunferência trigonométrica, isso corresponde a dois arcos abertos em cada volta de 2pi:
  1. o arco que vai de pi/6 até 5pi/6 (parte superior, excluindo regiões próximas aos eixos x),
  2. o arco que vai de 7pi/6 até 11pi/6 (parte inferior, excluindo novamente regiões próximas aos eixos).

Resposta

boxed ,xmid xin(tfracpi6+2kpi,;tfrac5pi6+2kpi);cup;(tfrac7pi6+2kpi,;tfrac11pi6+2kpi),;kinZ

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