Q.1: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista. OBS: Não utilize a regra de L’Hôpital e, utilize, ao menos uma vez, os LIMITES FUNDAMENTAIS (trigonométrico e exponencial) e o teorema do CONFRONTO. Não esqueça de justificar suas respostas com as propriedades e os cálculos efetuados.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x+5}{x-3}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{x+5}{x-3}\right)^{2x}.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A expressão é \left(\dfrac{x+5}{x-3}\right)^{2x}.
  • A variável x tende para -\infty.
  • Queremos o valor do limite (se existir), justificando com propriedades, usando ao menos uma vez um dos limites fundamentais (aqui usarei o limite exponencial) e aplicando o teorema do confronto em alguma etapa.

Passo 2

Primeira manipulação algébrica para simplificar a base:
\frac{x+5}{x-3}=\frac{(x-3)+8}{x-3}=1+\frac{8}{x-3}.
Então a expressão fica
\left(1+\frac{8}{x-3}\right)^{2x}.
Faço a substituição y=x-3. Quando x\to -\infty temos y\to -\infty. Reescrevendo em y:
\left(1+\frac{8}{y}\right)^{2(y+3)}.
Distribuindo o expoente:
\left(1+\frac{8}{y}\right)^{2y}\cdot\left(1+\frac{8}{y}\right)^{6}.

Passo 3

Vou tratar separadamente os dois fatores. Primeiro o fator \left(1+\dfrac{8}{y}\right)^{6}. Como y\to -\infty, temos \dfrac{8}{y}\to 0. Para justificar que esse fator tende a 1 uso o teorema do confronto (aplicado de forma elementar):
Seja \varepsilon>0 pequeno (por exemplo \varepsilon<1). Como \dfrac{8}{y}\to 0, existe M>0 tal que para todo y<-M vale \left|\dfrac{8}{y}\right|<\varepsilon. Para tais y temos
1-\varepsilon < 1+\frac{8}{y} < 1+\varepsilon.
Elevando tudo à sexta potência (função contínua, preserva desigualdades quando base positiva, e aqui para y suficientemente negativo a base está próxima de 1 e positiva), obtemos
(1-\varepsilon)^6 < \left(1+\frac{8}{y}\right)^{6} < (1+\varepsilon)^6.
Como \varepsilon\to 0 torna (1-\varepsilon)^6\to 1 e (1+\varepsilon)^6\to 1, pelo teorema do confronto concluímos
\lim_{y\to -\infty}\left(1+\frac{8}{y}\right)^{6}=1.

Passo 4

Agora o fator principal \left(1+\dfrac{8}{y}\right)^{2y}. Escrevo-o de forma conveniente para usar o limite exponencial fundamental. Observe que
2y=\frac{y}{8}\cdot 16,
portanto
\left(1+\frac{8}{y}\right)^{2y} =\left[\left(1+\frac{8}{y}\right)^{\frac{y}{8}}\right]^{16}.
Defina t=\dfrac{8}{y}. Quando y\to -\infty temos t\to 0 (vindo de 0^{-}, mas o limite a seguir vale para t\to 0 de ambos os lados). O fator interior transforma-se em
\left(1+\frac{8}{y}\right)^{\frac{y}{8}}=(1+t)^{1/t}.
Agora uso o limite fundamental exponencial:
\lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e.
Explicando esse limite: é o limite clássico que define a constante e. Uma maneira de ver é tomar logaritmo e usar \lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1 (resultado clássico que pode ser provado sem regra de L’Hôpital usando séries ou desigualdades), então o logaritmo do lado esquerdo tende a 1, e exponenciando obtemos e.
Portanto
\lim_{y\to -\infty}\left(1+\frac{8}{y}\right)^{\frac{y}{8}}=e,
e elevando à potência 16 (função contínua) obtemos
\lim_{y\to -\infty}\left(1+\frac{8}{y}\right)^{2y}=e^{16}.

Passo 5

Juntando os dois fatores (produto de limites, já que ambos limites existem e finitos),
\lim_{y\to -\infty}\left(1+\frac{8}{y}\right)^{2(y+3)} =\left(\lim_{y\to -\infty}\left(1+\frac{8}{y}\right)^{2y}\right)\cdot \left(\lim_{y\to -\infty}\left(1+\frac{8}{y}\right)^{6}\right) = e^{16}\cdot 1 = e^{16}.

Resposta

e^{16}

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