Q.1: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista. OBS: Não utilize a regra de L’Hôpital e, utilize, ao menos uma vez, os LIMITES FUNDAMENTAIS (trigonométrico e exponencial) e o teorema do CONFRONTO. Não esqueça de justificar suas respostas com as propriedades e os cálculos efetuados. \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x+5}{x-3}\right)^{2 x}
Queremos o valor do limite (se existir), justificando com propriedades, usando ao menos uma vez um dos limites fundamentais (aqui usarei o limite exponencial) e aplicando o teorema do confronto em alguma etapa.
Passo 2
Primeira manipulação algébrica para simplificar a base:
Vou tratar separadamente os dois fatores. Primeiro o fator \left(1+\dfrac{8}{y}\right)^{6}. Como y\to -\infty, temos \dfrac{8}{y}\to 0. Para justificar que esse fator tende a 1 uso o teorema do confronto (aplicado de forma elementar):
Seja \varepsilon>0 pequeno (por exemplo \varepsilon<1). Como \dfrac{8}{y}\to 0, existe M>0 tal que para todo y<-M vale \left|\dfrac{8}{y}\right|<\varepsilon. Para tais y temos
1-\varepsilon < 1+\frac{8}{y} < 1+\varepsilon.
Elevando tudo à sexta potência (função contínua, preserva desigualdades quando base positiva, e aqui para y suficientemente negativo a base está próxima de 1 e positiva), obtemos
Defina t=\dfrac{8}{y}. Quando y\to -\infty temos t\to 0 (vindo de 0^{-}, mas o limite a seguir vale para t\to 0 de ambos os lados). O fator interior transforma-se em
Explicando esse limite: é o limite clássico que define a constante e. Uma maneira de ver é tomar logaritmo e usar \lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1 (resultado clássico que pode ser provado sem regra de L’Hôpital usando séries ou desigualdades), então o logaritmo do lado esquerdo tende a 1, e exponenciando obtemos e.