Q. 5 (2,8). Em cada item, determine, justificando, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Quando falsa, voccê pode justificar exibindo um contra exemplo.
(a) Se f é um função contínua tal que f(-2)=4, então lim x 4 f(x)=-2;
(b) Sabe-se que lim x -1 f(x)=3. Então, f(x)>0 para todo x in(-2,0);
(c) Se lim x 3 7-f(x)x-3 é finito, então lim x 3 f(x) pode ser qualquer valor;
(d) Seja f: R R uma função tal que f(x)>0 para todo x neq 1 com f(1)=-5, então nexists lim x 1 f(x).

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre limites e continuidade de funções reais. Nosso objetivo é, para cada item, decidir se é verdadeiro ou falso usando a definição de limite e continuidade. Se for falso, basta dar um contraexemplo que satisfaça as hipóteses mas viole a conclusão.

Passo 2

Item (a): “Se f é uma função contínua tal que f(-2)=4, então limxto4f(x)=-2.”
Para uma função contínua em todo R, sabemos apenas que
limxto -2f(x)=f(-2)=4,
mas isso nada diz sobre o comportamento em x=4. Um contraexemplo simples é tomar
f(x)=4para todo xinR
Então f(-2)=4 e f é contínua, porém
limxto4f(x)=4neq -2
Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Item (b): “Sabe-se que
Então (que está em ) vale . Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

Item (c): “Se limxto37-f(x)x-3 é finito, então limxto3f(x) pode ser qualquer valor.”
Seja
L=limxto37-f(x)x-3inR
Para que esse quociente não exploda quando xto3, o numerador tem de tender a zero, ou seja
limxto3l(7-f(x)r)=0 Longrightarrow limxto3f(x)=7
Portanto o limite de f em 3 não pode ser “qualquer valor”, tem de ser exatamente 7. A afirmação é falsa.

Passo 5

Item (d): “Seja
Então . Logo a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa

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