Q. 5 (2,8). Em cada item, determine, justificando, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Quando falsa, voccê pode justificar exibindo um contra exemplo.
(a) Se
é um função contínua tal que
, então
;
(b) Sabe-se que
. Então,
para todo
;
(c) Se
é finito, então
pode ser qualquer valor;
(d) Seja
uma função tal que
para todo
, então
.
(a) Se
(b) Sabe-se que
(c) Se
(d) Seja
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre limites e continuidade de funções reais. Nosso objetivo é, para cada item, decidir se é verdadeiro ou falso usando a definição de limite e continuidade. Se for falso, basta dar um contraexemplo que satisfaça as hipóteses mas viole a conclusão.
Passo 2
Item (a): “Se
é uma função contínua tal que
, então
.”
Para uma função contínua em todo , sabemos apenas que
Para uma função contínua em todo
mas isso nada diz sobre o comportamento em
. Um contraexemplo simples é tomar
Então
e
é contínua, porém
Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
Item (b): “Sabe-se que
Então (que está em
) vale
. Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
Item (c): “Se
é finito, então
pode ser qualquer valor.”
Seja
Seja
Para que esse quociente não exploda quando
, o numerador tem de tender a zero, ou seja
Portanto o limite de
em
não pode ser “qualquer valor”, tem de ser exatamente
. A afirmação é falsa.
Passo 5
Item (d): “Seja
Então . Logo a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa