Q.1: Considerando as desigualdades nos itens abaixo, encontre o conjunto solução e ilustre-o sobre a reta real.
|-x+3x+1|<2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de valor absoluto
|-x+3x+1|<2
e, em seguida, representar graficamente o conjunto solução na reta real. O conteúdo é inequação envolvendo valor absoluto e expressão racional. Vamos precisar:
– identificar o domínio ( xneq -1);
– usar a propriedade lvert urvert< aiff u^2<a^2;
– resolver a inequação polinomial resultante;
– combinar com o domínio.

Passo 2

Como xneq -1 garante denominador não nulo e ambos lados de
|3-xx+1|<2
são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido. Assim exigimos
(3-x)^2<4(x+1)^2

Passo 3

Desenvolvendo cada quadrado e levando tudo para um lado, temos
(3-x)^2-4(x+1)^2<0
l(x^2-6x+9r)-4l(x^2+2x+1r)<0
x^2-6x+9-4x^2-8x-4<0
-3x^2-14x+5<0
multiplicando por -1 (inverte o sinal da desigualdade),
3x^2+14x-5>0

Passo 4

A inequação quadrática
3x^2+14x-5>0
tem raízes
x=-14pmraiz14^2-4cdot3cdot(-5)2cdot3 =-14pmraiz196+606 =-14pm166,
isto é x=-5 e x=tfrac13. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola fica acima do eixo x para
x<-5ou x>tfrac13

Passo 5

Juntando com o domínio xneq -1 (que não afeta os intervalos obtidos), concluímos que a solução da inequação original é
(-infty,-5),cup,l(tfrac13,inftyr)

Resposta

,xinR mid x < -5 ou x > tfrac13
e, na reta real, marcamos -5 e tfrac13 com círculos abertos e sombreiamos tudo `a esquerda de -5 e tudo `a direita de tfrac13.

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