Sejam f(x)=x^2 e g(x)=raizx. Determine o domínio e a imagem de f e de g, e encontre expressões para as compostas f circ g e g circ f.

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=x^2 e g(x)=raizx e pede:
  1. Domínio e imagem de f e de g.
  2. Expressões de fcirc g e de gcirc f.

Passo 2

Para achar domínio e imagem de f, lembramos que elevar ao quadrado está definido para todo número real e que o resultado é sempre não-negativo.
Domínio de f:
Dom(f)=R
Imagem de f:
Im(f)=[0,infty)

Passo 3

Para g(x)=raizx, a raiz quadrada só faz sentido quando o radicando é não-negativo, e o resultado é também não-negativo.
Domínio de g:
Dom(g)=[0,infty)
Imagem de g:
Im(g)=[0,infty)

Passo 4

O composto fcirc g é definido para
xin,xinDom(g)mid g(x)inDom(f)=Dom(g)=[0,infty)
Depois,
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=fl(raizxr)=l(raizxr)^2=x

Passo 5

O composto gcirc f é definido para
xin,xinDom(f)mid f(x)inDom(g)=Dom(f)=R,
pois f(x)=x^2>=0 garante f(x)in[0,infty). Em seguida,
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=gl(x^2r)=raizx^2=|x|

Resposta

Domínio e imagem:
Dom(f)=R, Im(f)=[0,infty),
Dom(g)=[0,infty), Im(g)=[0,infty)
Compostas:
(fcirc g)(x)=x, xin[0,infty),
(gcirc f)(x)=|x|, xinR

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