Q 2 Determine k de modo que o conjunto (1,0, k) ;(1,1, k) ;(1, k, k^2) seja LI.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de k tais que os vetores
v1=(1,0,k), v2=(1,1,k), v3=(1,k,k^2)
sejam linearmente independentes em R^3. O conteúdo aqui é o teste de independência linear usando determinante de uma matriz 3times3: os vetores são LI se, e somente se, o determinante for não nulo.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & k k & k & k^2
O critério diz que v1,v2,v3 são LI exatamente quando det(A)neq0.

Passo 3

Calculamos o determinante de :
Agora cada menor:
Substituindo:

Passo 4

Para que os vetores sejam LI, precisamos de
det(A)neq0 Long<=ftrightarrow k,(k-1)neq0 Long<=ftrightarrow kneq0 e kneq1

Resposta

kinRsetminus0,1.

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