Sejam os vetores de , dados a seguir:
Determine, se possível, as constantes e para que cada item seja verdadeiro:
(c) ;

Passo 1

Temos os vetores
v1=1&20&0, v2=2&x-1&0, v4=2&42y&z
e queremos achar x,y,z tais que v1,v2,v4 seja linearmente dependente. Para isso, vamos usar a definição: existe combinação não trivial
a,v1+b,v2+c,v4=0

Passo 2

Escrevendo as coordenadas em R^4 (coluna por coluna) e igualando componente a componente, obtemos o sistema
a + 2b + 2c = 0
2a + x,b + 4c = 0
-,b + 2y,c = 0
z,c = 0

Passo 3

Para que haja solução não trivial precisamos de pelo menos uma das incógnitas a,b,c diferente de zero. Se c=0, das duas primeiras e da terceira equação vem b=0 e a=0, solução trivial. Logo deve ocorrer cneq0, e da quarta equação segue
z=0

Passo 4

Com cneq0 e z=0, a terceira equação dá
b=2y,c,
e a primeira dá
a=-2b-2c=-4y,c-2c=-2c,(2y+1)
Substituindo essas expressões na segunda equação obtemos
2(-2c(2y+1)) + x,(2y,c) + 4c = 0 Longrightarrow 2c,y,(x-4)=0
Como cneq0, resta
y,(x-4)=0

Passo 5

Portanto as condições para v1,v2,v4 ser linearmente dependente são
z=0 e y,(x-4)=0,
isto é,
  • z=0 e y=0 (com qualquer x),
    ou
  • z=0 e x=4 (com qualquer y).

Resposta

z=0 e y,(x-4)=0.

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