Q 1 Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
(d) (cc2 & 0 3 & -1) ;(cc1 & -1 2 & 4) ;(cc-3 & -1 5 & 3) ;(cc1 & -2 10 & 6).

Passo 1

O enunciado nos dá quatro matrizes em M2times2 e pede para verificar se elas são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). O conceito principal é combinação linear no espaço vetorial de matrizes: vamos tratar cada matriz como um vetor em R^4 e ver se existe uma combinação não trivial que gera a matriz nula (ou expressar uma delas como combinação das demais).

Passo 2

Rotulando
A1=2 & 03 & -1, A2=1 & -12 & 4, A3=-3 & -15 & 3, A4=1 & -210 & 6,
procuramos escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha A1+beta A2+gamma A3 ;=; A4
Vetorizando cada Ai em R^4 (ordenando as entradas linha a linha), obtemos o sistema
2alpha + 1beta -3gamma = 1, 0alpha -1beta -1gamma = -2, 3alpha +2beta +5gamma = 10, -1alpha +4beta +3gamma = 6

Passo 3

Da segunda equação temos
-,beta -gamma = -2 Longrightarrow beta = 2 - gamma
Substituindo na primeira:
2alpha + (2-gamma) -3gamma = 1 ;Longrightarrow; 2alpha -4gamma = -1 ;Longrightarrow; alpha -2gamma = -tfrac12
Na terceira:
3alpha +2(2-gamma) +5gamma =10 ;Longrightarrow; 3alpha +4 +3gamma =10 ;Longrightarrow; alpha +gamma =2
Resolvendo o sistema
alpha +gamma =2, alpha -2gamma = -tfrac12,
vem gamma = tfrac56 e alpha = 2 - tfrac56 = tfrac76. Logo beta = 2 - tfrac56 = tfrac76. Substituindo na quarta equação confirma-se que essa solução é consistente.

Passo 4

Como achamos escalares não todos zero ( alpha=tfrac76, beta=tfrac76, gamma=tfrac56) que satisfazem
tfrac76,A1 ;+;tfrac76,A2;+;tfrac56,A3 ;=; A4,
concluímos que o conjunto é linearmente dependente em M2times2.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

Exercícios relacionados