Q. 5(3,2). Determine os limites abaixo:
(c) lim x 5 raiz[3]x+3-2x^2-10 x+25

Passo 1

O enunciado pede
limxto5raiz[3]x+3-2x^2-10x+25
O conteúdo aqui é indeterminação do tipo tfrac00. Para resolver, vamos usar a fatoração de diferença de cubos para racionalizar o numerador.

Passo 2

Defina
a = raiz[3]x+3,
então a^3 = x+3 e o numerador é a-2. Note que
a^3 - 2^3 = (a-2)l(a^2 + 2a + 4r)
e também
a^3 - 2^3 = (x+3) - 8 = x - 5
Logo
a-2 = x-5a^2 + 2a + 4

Passo 3

Substituindo essa expressão na fração original, temos
raiz[3]x+3-2x^2-10x+25 = a-2(x-5)^2 = x-5a^2 + 2a + 4(x-5)^2 = 1(a^2 + 2a + 4),(x-5)

Passo 4

Quando xto5, temos a=raiz[3]5+3=raiz[3]8=2, então
a^2 + 2a + 4 longrightarrow 2^2 + 2cdot2 + 4 = 12
Portanto, para x próximo de 5,
raiz[3]x+3-2x^2-10x+25 approx 112,(x-5)

Passo 5

Da expressão aproximada tfrac112(x-5) segue que
limxto5^+112(x-5) = +infty, limxto5^-112(x-5) = -infty
Como os limites laterais divergem com sinais opostos, a limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe (diverge para +infty pela direita e para -infty pela esquerda).

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