Q. 4(3,5). Determine os limites abaixo:
lim x +infty(x-1x-2)^x;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyl(x-1x-2r)^x
O conteúdo aqui é limite de forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar a técnica de passar para o logaritmo e reconhecer a forma exponencial e^lim(cdots).

Passo 2

Reescrevemos a base de maneira a evidenciar a forma 1 + algo pequeno. Note que
x-1x-2 = 1 + (x-1)-(x-2)x-2 = 1 + 1x-2
Portanto o limite vira
limxto+inftyl(1 + 1x-2r)^x

Passo 3

Seja
L = limxto+inftyl(1 + 1x-2r)^x
Tomamos o logaritmo natural para lidar com a potência:
ln L = limxto+infty x ,lnl(1 + tfrac1x-2r)

Passo 4

Usamos a expansão ln(1+u)=u - tfracu^22+o(u^2) para u=tfrac1x-2. Assim
lnl(1 + tfrac1x-2r) = 1x-2 - 12,(x-2)^2 + o!l(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x, obtemos
xlnl(1 + tfrac1x-2r) = xx-2 - x2,(x-2)^2 + o(1)
Para xto+infty vale tfracxx-2to1 e tfracx(x-2)^2to0, logo
ln L = 1

Passo 5

Voltando da forma logarítmica, temos
L = e^ln L = e^1 = e

Resposta

limxto+inftyl(x-1x-2r)^x = e

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