Exercício 11. (D.K. ex. 12.1) Determine todas as soluções fundamentais Ek in D^prime(R) de P=d^kd x^k para k in N0. Quais destas distribuições são homogêneas? De qual grau?

Passo 1

O enunciado pede todas as distribuições Ekin D'( R) tais que
d^kdx^kEk=de<a,
isto é, todas as soluções fundamentais do operador P=tfracd^kdx^k. Em seguida, indaga quais dessas soluções são homogêneas e de que grau. Para resolver precisamos usar a teoria de equações diferenciais em distribuições (integração sucessiva), mais o espaço das soluções da equação homogênea tfracd^kdx^kH=0, e a definição de homogeneidade de uma distribuição em R.

Passo 2

Primeiro achamos uma solução particular
Uma escolha clássica é
onde (x_+^{,k-1}= ]
De fato, por diferenciação sucessiva em distribuições verifica-se

Passo 3

A equação completa tfracd^kdx^kEk=de<a tem solução geral dada por
Ek(x) =underbracex+^,k-1(k-1)!particular ;+; H(x),
onde H satisfaz a homogênea H^(k)=0. Em distribuições isso significa que H é um polinômio de grau no máximo k-1:
H(x)=sumj=0^k-1aj,x^j,
com constantes a0,dots,ak-1in R.

Passo 4

Concluímos então que todas as soluções fundamentais são

Passo 5

Agora, uma distribuição T em R é dita homogênea de grau alpha se, para todo lambda>0,
lang<= T,varphi(lambda,cdot)rang<= =lambda^-1-alpha,lang<= T,varphirang<=
Sabe-se que x^j é homogênea de grau j e x+^,k-1 é homogênea de grau k-1. A soma de duas distribuições homogêneas só é homogênea se tiverem o mesmo grau.

Passo 6

No nosso Ek a parte tfracx+^,k-1(k-1)! é homogênea de grau k-1. Para que o polinômio sumj=0^k-1ajx^j não quebre a homogeneidade, só podemos ter termos de grau exatamente k-1. Ou seja, todos os aj com j<k-1 devem ser zero, e apenas ak-1 pode ser não-nulo.

Resposta

Todas as soluções fundamentais são
Ek(x) =x+^,k-1(k-1)! ;+; sumj=0^k-1aj,x^j, ajin R
Dessas, as homogêneas de grau alpha ocorrem exatamente quando a0=cdots=ak-2=0, ficando
Ek(x) =x+^,k-1(k-1)! ;+; ak-1,x^k-1,
que é homogênea de grau
alpha=k-1

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