Exercício 11. (D.K. ex. 12.1) Determine todas as soluções fundamentais de para . Quais destas distribuições são homogêneas? De qual grau?
Passo 1
O enunciado pede todas as distribuições tais que
isto é, todas as soluções fundamentais do operador . Em seguida, indaga quais dessas soluções são homogêneas e de que grau. Para resolver precisamos usar a teoria de equações diferenciais em distribuições (integração sucessiva), mais o espaço das soluções da equação homogênea , e a definição de homogeneidade de uma distribuição em .
Passo 2
Primeiro achamos uma solução particular
Uma escolha clássica é
onde (x_+^{,k-1}=]
De fato, por diferenciação sucessiva em distribuições verifica-se
Passo 3
A equação completa tem solução geral dada por
onde H satisfaz a homogênea H^(k)=0. Em distribuições isso significa que H é um polinômio de grau no máximo k-1:
H(x)=sumj=0^k-1aj,x^j,
com constantes a0,dots,ak-1in R.
Passo 4
Concluímos então que todas as soluções fundamentais são
Passo 5
Agora, uma distribuição T em R é dita homogênea de graualpha se, para todo lambda>0,
Sabe-se que x^j é homogênea de grau j e x+^,k-1 é homogênea de grau k-1. A soma de duas distribuições homogêneas só é homogênea se tiverem o mesmo grau.
Passo 6
No nosso Ek a parte tfracx+^,k-1(k-1)! é homogênea de grau k-1. Para que o polinômio sumj=0^k-1ajx^j não quebre a homogeneidade, só podemos ter termos de grau exatamente k-1. Ou seja, todos os aj com j<k-1 devem ser zero, e apenas ak-1 pode ser não-nulo.
Resposta
Todas as soluções fundamentais são
Ek(x) =x+^,k-1(k-1)! ;+; sumj=0^k-1aj,x^j, ajin R
Dessas, as homogêneas de grau alpha ocorrem exatamente quando a0=cdots=ak-2=0, ficando