Q 9 Determine uma transformação linear:
T: R^3 R^2 tal que ker(T)=[(1,0,0) ;(0,2,0)], Im(T)=[(2,4)] e beta=(1,0,0) ;(0,2,0) ;(0,0,1) seja a base do R^3;

Passo 1

Resumindo, queremos uma aplicação linear
Tcolon R^3toR^2
tal que
  1. ker(T)=span(1,0,0),(0,2,0),
  2. Im(T)=span(2,4),
    e que já sabemos a base do domínio
    beta=,v1=(1,0,0),,v2=(0,2,0),,v3=(0,0,1).

Passo 2

Para forçar ker(T)=spanv1,v2, definimos
T(v1)=T(1,0,0)=(0,0), T(v2)=T(0,2,0)=(0,0)

Passo 3

Como Im(T) deve ser span(2,4) e v3 não pode pertencer ao kernel, escolhemos
T(v3)=T(0,0,1)=(2,4)

Passo 4

Pela linearidade, para um vetor genérico
(x,y,z)inR^3 escrito em coordenadas da base beta como
(x,y,z)=x,v1 + tfracy2,v2 + z,v3,
temos
T(x,y,z) =x,T(v1)+tfracy2,T(v2)+z,T(v3) = z,(2,4)
Em coordenadas padrão isto dá
T(x,y,z)=(2z,,4z)

Passo 5

A matriz de T nas bases canônicas (domínio e contradomínio) é
[T]= 0 & 0 & 2 0 & 0 & 4 ,
pois aplica (x,y,z)mapsto(2z,4z).

Resposta

Uma transformação que funciona é
T(x,y,z)=(2z,4z)

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