Questão 3. Seja M e N dois subespaços fechados de um espaço de Banach (X,|cdot|). Suponha que X seja soma direta de M e N (no sentido da Álgebra Linear).
(a) Prove que X é isomorfo a (M times N,| | cdot| |) onde ||(m, n)|=max |m|,|n|.
(b) Mostre que X / M é isomorfo a N. Justifique suas afirmações.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço de Banach (X,|cdot|) e dois subespaços fechados M e N tais que
X=Moplus N,
isto é, todo xin X escreve-se de modo único como x=m+n com min M e nin N.
Conteúdo: isomorfismos de Banach, Teorema do Mapeamento Aberto. Para (a) vamos construir a aplicação Tcolon Mtimes Nto X; para (b) a aplicação varphicolon Nto X/M.

Passo 2

Definimos
Tcolon Mtimes Nlongrightarrow X, T(m,n)=m+n,
onde equipamos Mtimes N com a norma
||(m,n)|| ;=;max|m|,|n|
  1. T é linear pois soma de componentes e escalares distribuem:
T((m1,n1)+(m2,n2))=(m1+m2)+(n1+n2) e T(alpha(m,n))=alpha m+alpha n
  1. T é injetora: T(m,n)=0 implica m+n=0, como Mcap N=0 segue m=0 e n=0.
  2. T é sobrejetora: dado xin X, escreva x=m+n pela soma direta; então T(m,n)=x.

Passo 3

Para concluir que T é isomorfismo de Banach devemos mostrar que T e T^-1 são contínuas.
  1. Nota-se diretamente que
|T(m,n)|=|m+n|<=|m|+|n|<=2,max|m|,|n|=2||(m,n)||,
logo T é contínua.
2. O par l(Mtimes N,||cdot||r) é Banach pois cada um dos fatores é Banach e a norma maxcdot,cdot gera produto completo. Como X é Banach, e T é bijetora e linear entre Banach, o Teorema do Mapeamento Aberto implica que T^-1 é contínua.
Portanto T é um isomorfismo de espaços de Banach, ou seja
X;cong;l(Mtimes N,||cdot||r)

Passo 4

Para (b) definimos
varphicolon Nlongrightarrow X/M, varphi(n)=n+M,
onde X/M tem a norma quociente
|x+M|=infmin M|x+m|.
  1. varphi é linear.
  2. varphi é injetora pois varphi(n)=M (o coset zero) dá nin Mcap NRightarrow n=0.
  3. varphi é sobrejetora: todo coset x+M com x=m+n é igual a n+M.

Passo 5

Falta ver que varphi e varphi^-1 são contínuas.
  1. varphi é Lipschitz porque
|varphi(n)|X/M =|n+M|<=|n|
  1. Como N e X/M são Banach e varphi é bijetora linear, de novo o Teorema do Mapeamento Aberto garante que varphi^-1 é contínua.
    Logo varphi é isomorfismo de Banach entre N e X/M.

Resposta

(a) X é isomorfo a l(Mtimes N,||(m,n)||=max|m|,|n|r) via T(m,n)=m+n.
(b) X/M é isomorfo a N via varphi(n)=n+M.

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