Questão 3. Seja
e
dois subespaços fechados de um espaço de Banach
. Suponha que
seja soma direta de
e
(no sentido da Álgebra Linear).
(a) Prove que
é isomorfo a
onde
.
(b) Mostre que
é isomorfo a
. Justifique suas afirmações.
(a) Prove que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata de um espaço de Banach
e dois subespaços fechados
e
tais que
isto é, todo
escreve-se de modo único como
com
e
.
Conteúdo: isomorfismos de Banach, Teorema do Mapeamento Aberto. Para (a) vamos construir a aplicação ; para (b) a aplicação
.
Conteúdo: isomorfismos de Banach, Teorema do Mapeamento Aberto. Para (a) vamos construir a aplicação
Passo 2
Definimos
onde equipamos
com a norma
-
é linear pois soma de componentes e escalares distribuem:
-
é injetora: implica , como segue e . -
é sobrejetora: dado , escreva pela soma direta; então .
Passo 3
Para concluir que
é isomorfismo de Banach devemos mostrar que
e
são contínuas.
- Nota-se diretamente que
logo
é contínua.
2. O par é Banach pois cada um dos fatores é Banach e a norma
gera produto completo. Como
é Banach, e
é bijetora e linear entre Banach, o Teorema do Mapeamento Aberto implica que
é contínua.
Portanto é um isomorfismo de espaços de Banach, ou seja
2. O par
Portanto
Passo 4
Para (b) definimos
onde
tem a norma quociente
.
-
é linear. -
é injetora pois (o coset zero) dá . -
é sobrejetora: todo coset com é igual a .
Passo 5
Falta ver que
e
são contínuas.
-
é Lipschitz porque
- Como
e são Banach e é bijetora linear, de novo o Teorema do Mapeamento Aberto garante que é contínua.
Logoé isomorfismo de Banach entre e .
Resposta
(a)
é isomorfo a
via
.
(b) é isomorfo a
via
.
(b)