Questão 4. Seja X um espaço normado e M um subespaço de X. Considere
M^perp=varphi in X^*:varphi|M equiv 0
Mostre que a aplicação T: X^* / M^perp M^* dada por T([x^*])=x^*|M é uma isometria de X^* / M^perp sobre M^*.

Passo 1

O enunciado define um espaço normado X, um subespaço Msubset X e o aniquilador
M^perp=lvarphiin X^*:varphi|Mequiv0r
Queremos mostrar que a aplicação
T:X^*/M^perpto M^*, Tl([x^*]r)=x^*|M
é uma isometria sobrejetiva. O conteúdo principal usa noções de espaço quociente, norma de funcional e o Teorema de Hahn–Banach para extensão de funcionais.

Passo 2

Mostramos que T está bem–definida, é linear e injetora.
  • Se [x^*]=[y^*] em X^*/M^perp, então x^*-y^*in M^perp, logo
(x^*-y^*)|M=0 Longrightarrow x^*|M=y^*|M,
o que garante que T([x^*]) independe do representante.
  • A linearidade é imediata de
Tl(a[x^*]+b[y^*]r) =(ax^*+by^*)|M =a,x^*|M+b,y^*|M
  • Se T([x^*])=0 em M^*, então x^*|Mequiv0, isto é, x^*in M^perp e portanto [x^*]=0 no quociente. Assim, T é injetora.

Passo 3

Mostramos a desigualdade
|T([x^*])| ;<=;|[x^*]|X^*/M^perp
Pela definição de norma no quociente,
|[x^*]| =infvarphiin M^perp|x^*+varphi|
Para qualquer varphiin M^perp e min M com |m|<=1, vale
|x^*(m)|=|(x^*+varphi)(m)|<=|x^*+varphi|cdot|m|<=|x^*+varphi|
Fazendo supremum em min M com |m|<=1 e depois infimum em varphi, obtemos
|x^*|M| <=infvarphiin M^perp|x^*+varphi| =|[x^*]|
Logo |T([x^*])|<=|[x^*]|.

Passo 4

Para a desigualdade inversa
|T([x^*])|>=|[x^*]|, aplicamos o Teorema de Hahn–Banach: dado x^*|Min M^* com norma r=|x^*|M|, existe extensão y^*in X^* tal que
y^*|M=x^*|M, |y^*|=r
Então varphi0=y^*-x^* pertence a M^perp e
|[x^*]| ;=;infvarphiin M^perp|x^*+varphi| ;<=;|x^*+varphi0| =|y^*| =r =|x^*|M| =|T([x^*])|
Combinando com o passo anterior segue
|T([x^*])|=|[x^*]|, ou seja, T é isometria.

Passo 5

Finalmente, T é sobrejetiva pois, dado qualquer gin M^*, o Teorema de Hahn–Banach garante extensão fin X^* com f|M=g e |f|=|g|. Então
Tl([f]r)=f|M=g,
mostrando que todo funcional em M^* é atingido.

Resposta

A aplicação T é um isomorfismo linear isométrico de X^*/M^perp sobre M^*.

Exercícios relacionados