Questão 4. Seja
um espaço normado e
um subespaço de
. Considere
Mostre que a aplicação
dada por
é uma isometria de
sobre
.
Passo 1
O enunciado define um espaço normado
, um subespaço
e o aniquilador
Queremos mostrar que a aplicação
é uma isometria sobrejetiva. O conteúdo principal usa noções de espaço quociente, norma de funcional e o Teorema de Hahn–Banach para extensão de funcionais.
Passo 2
Mostramos que
está bem–definida, é linear e injetora.
- Se
em , então , logo
o que garante que
independe do representante.
- A linearidade é imediata de
- Se
em , então , isto é, e portanto no quociente. Assim, é injetora.
Passo 3
Mostramos a desigualdade
Pela definição de norma no quociente,
Para qualquer
e
com
, vale
Fazendo supremum em
com
e depois infimum em
, obtemos
Logo
.
Passo 4
Para a desigualdade inversa
, aplicamos o Teorema de Hahn–Banach: dado
com norma
, existe extensão
tal que
Então
pertence a
e
Combinando com o passo anterior segue
, ou seja,
é isometria.
Passo 5
Finalmente,
é sobrejetiva pois, dado qualquer
, o Teorema de Hahn–Banach garante extensão
com
e
. Então
mostrando que todo funcional em
é atingido.
Resposta
A aplicação
é um isomorfismo linear isométrico de
sobre
.