Questão 10. (Assíntota Horizontal) Determine a assíntota horizontal da função:
f(x)=\frac{4 x^{2}+1}{2 x^{2}-5}
a) y=0
b) y=2
c) y=4
d) Nenhuma

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{4x^{2}+1}{2x^{2}-5}
e pede a assíntota horizontal, que corresponde ao valor que f(x) se aproxima quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos são de grau 2), a regra geral diz que a assíntota horizontal é
o quociente dos coeficientes líderes:
y=\frac{\text{coeficiente de }x^{2}\text{ no numerador}}{\text{coeficiente de }x^{2}\text{ no denominador}}.

Passo 3

Calculemos o limite em +\infty:
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^{2}+1}{2x^{2}-5} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4 + \tfrac{1}{x^{2}}}{2 - \tfrac{5}{x^{2}}} =\frac{4}{2}=2.

Passo 4

Para x\to-\infty o raciocínio é idêntico:
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\frac{4}{2}=2.
Como os dois limites (à direita e à esquerda) coincidem em 2, a assíntota horizontal é y=2.

Resposta

y=2

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