Q. 5 (Extra: 1,0). Determine lim x 1 x^500-1x^2000-1.

Passo 1

O enunciado pede
limxto1x^500-1x^2000-1
Como ao substituir x=1 obtemos 0/0, trata-se de uma indeterminação. Para resolver, podemos usar a fatoração pela soma de progressão geométrica ou a Regra de L’Hôpital. Aqui escolhemos a fatoração.

Passo 2

Recordando que, para inteiro n>=1,
x^n-1=(x-1)l(x^n-1+x^n-2+cdots+x+1r),
podemos escrever
x^500-1=(x-1)l(x^499+x^498+cdots+x+1r),
x^2000-1=(x-1)l(x^1999+x^1998+cdots+x+1r)

Passo 3

Substituindo essas fatorações no quociente, cancelamos o fator (x-1):
x^500-1x^2000-1 =(x-1)l(x^499+cdots+1r)(x-1)l(x^1999+cdots+1r) =x^499+cdots+1x^1999+cdots+1
Agora podemos tomar o limite xto1. Cada soma do numerador tem 500 termos que tendem a 1, e cada do denominador tem 2000 termos que tendem a 1.

Passo 4

Portanto,
limxto1x^499+cdots+1x^1999+cdots+1 =5002000 =14

Resposta

14

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