Q 1. Falso ou Verdadeiro? Justifique:
se
diverge, então
,
se
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se diverge, então
.”
O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, a condição necessária de convergência de uma série: se uma série converge, seus termos vão a zero.
“Se
O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, a condição necessária de convergência de uma série: se uma série converge, seus termos vão a zero.
Passo 2
Vamos analisar logicamente a afirmação. Sabemos que, para qualquer série
,
se ela converge então
se ela converge então
Isto é uma condição necessária de convergência. A afirmação do enunciado quer aplicar o recíproco direto dessa ideia:
“se diverge então ”.
Mas a condição necessária não garante que seu recíproco seja válido.
“se diverge então
Mas a condição necessária não garante que seu recíproco seja válido.
Passo 3
Basta um contraexemplo de série divergente cujos termos tendem a zero. A mais clássica é a série harmônica, com
Então
é bem conhecido que diverge, mas
Passo 4
Como encontramos uma série divergente com
, a afirmação “se diverge então
não tende a zero” é falsa.
Resposta
Falso. Justificativa: a série harmônica
diverge enquanto seus termos
vão a zero.