Q 1. Falso ou Verdadeiro? Justifique:
se sumn=1^infty an diverge, então lim n infty an neq 0,

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se sumn=1^inftyan diverge, então limntoinftyanneq0.”
O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, a condição necessária de convergência de uma série: se uma série converge, seus termos vão a zero.

Passo 2

Vamos analisar logicamente a afirmação. Sabemos que, para qualquer série sum an,
se ela converge então
limntoinftyan=0
Isto é uma condição necessária de convergência. A afirmação do enunciado quer aplicar o recíproco direto dessa ideia:
“se diverge então lim anneq0”.
Mas a condição necessária não garante que seu recíproco seja válido.

Passo 3

Basta um contraexemplo de série divergente cujos termos tendem a zero. A mais clássica é a série harmônica, com
an=1n
Então
sumn=1^infty1n
é bem conhecido que diverge, mas
limntoinfty 1n = 0

Passo 4

Como encontramos uma série divergente com anto0, a afirmação “se diverge então an não tende a zero” é falsa.

Resposta

Falso. Justificativa: a série harmônica sumn=1^infty1/n diverge enquanto seus termos tfrac1n vão a zero.

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