Um tanque, com capacidade de 400 litros, continha inicialmente 100 litros de uma solução de água com 150 gramas de sal. Começa a entrar no tanque, a uma taxa de 6 litros por minuto, uma solução de água com sal contendo 1 grama de sal por litro e a mistura, bem mexida, sai do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante antes do momento em que a solução começa a tansbordar.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura numa cubagem: um tanque de capacidade de 400 L contém inicialmente 100 L de solução com 150 g de sal. Entra solução com concentração de 1 g/L à taxa de 6 L/min e sai solução bem mexida à taxa de 5 L/min. O conteúdo é EDO de mistura e vamos modelar a variação do volume e da massa de sal para montar e resolver essa equação.

Passo 2

Definimos V(t) como o volume de solução no tanque em litros e X(t) como a quantidade de sal em gramas no instante t (em minutos). Como entram 6 L/min e saem 5 L/min,
dVdt=6-5=1,
com condição inicial V(0)=100. Integramos para obter
V(t)=100+t

Passo 3

A taxa de variação de X(t) é
dXdt=(taxa de entrada de sal)-(taxa de saída de sal) í
A entrada de sal é (1 g/L)times(6 L/min)=6 g/min. A saída de sal, pela homogeneidade da mistura, é
X(t)V(t)times 5 L/min = 5,X(t)V(t)
Logo
dXdt = 6 - 5,XV(t)

Passo 4

Substituindo V(t)=100+t obtemos a EDO linear
dXdt + 5100+t,X = 6

Passo 5

O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral 5100+t,dtr) =(100+t)^5
Multiplicando a EDO por mu(t) resulta
ddtl[(100+t)^5,Xr] =6,(100+t)^5
Integrando,
(100+t)^5,X = 6integral (100+t)^5,dt + C = (100+t)^6 + C
Isolando X,
X(t) = (100+t)^6 + C(100+t)^5 =100+t + C(100+t)^5

Passo 6

Usamos X(0)=150 g para achar C:
150 = 100 + C100^5 Longrightarrow C100^5=50 Longrightarrow C=50cdot100^5

Passo 7

Substituindo C na solução geral, obtemos a quantidade de sal em qualquer instante t (antes de transbordar, i.e.\ até t=300 min):
X(t)=100+t + 50cdot100^5(100+t)^5 =100+t +50l(100100+tr)^5

Resposta

X(t)=100 + t + 50l(tfrac100100+tr)^5, 0<= t<= 300

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