Um tanque, com capacidade de 400 litros, continha inicialmente 100 litros de uma solução de água com 150 gramas de sal. Começa a entrar no tanque, a uma taxa de 6 litros por minuto, uma solução de água com sal contendo 1 grama de sal por litro e a mistura, bem mexida, sai do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante antes do momento em que a solução começa a tansbordar.
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura numa cubagem: um tanque de capacidade de 400 L contém inicialmente 100 L de solução com 150 g de sal. Entra solução com concentração de 1 g/L à taxa de 6 L/min e sai solução bem mexida à taxa de 5 L/min. O conteúdo é EDO de mistura e vamos modelar a variação do volume e da massa de sal para montar e resolver essa equação.
Passo 2
Definimos
como o volume de solução no tanque em litros e
como a quantidade de sal em gramas no instante
(em minutos). Como entram 6 L/min e saem 5 L/min,
com condição inicial
. Integramos para obter
Passo 3
A taxa de variação de
é
A entrada de sal é
g/min. A saída de sal, pela homogeneidade da mistura, é
Logo
Passo 4
Substituindo
obtemos a EDO linear
Passo 5
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
resulta
Integrando,
Isolando
,
Passo 6
Usamos
g para achar
:
Passo 7
Substituindo
na solução geral, obtemos a quantidade de sal em qualquer instante
(antes de transbordar, i.e.\ até
min):