Nos seguintes itens, encontre o polinomio de Taylor associado à funçao f de grau n no ponto a, onde
f(x)=sin x+e^x, n=5, a=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor (Maclaurin, já que a=0) de grau n=5 para
f(x)=sin x + e^x
ou seja, vamos aproximar cada parcela por sua série de potências até o termo de grau 5 e depois somar.

Passo 2

Lembrando as séries de Maclaurin até a ordem 5:
sin x = x - x^33! + x^55! + cdots
ou seja, até o grau 5 temos
sin x = x - x^36 + x^5120

Passo 3

Agora a série de e^x até o grau 5:
e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + x^44! + x^55! + cdots
ou seja,
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + x^5120

Passo 4

Somamos termo a termo as duas séries, guardando só até grau 5:
  • Constante: 0 + 1 = 1.
  • x: 1cdot x + 1cdot x = 2x.
  • x^2: 0 + tfracx^22 = tfracx^22.
  • x^3: -tfracx^36 + tfracx^36 = 0.
  • x^4: 0 + tfracx^424 = tfracx^424.
  • x^5: tfracx^5120 + tfracx^5120 = tfracx^560.

Resposta

P5(x) ;=; 1 ;+; 2x ;+; x^22 ;+; x^424 ;+; x^560

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