Considere a função
(a)
(c)
(d)
(e)
(f)
Finalmente, esboce um gráfico de no intervalo .

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2, & x<=0, 1-x, & 0<x<1, (x-1)^2, & x>1,
e pede vários limites e o valor em x=1, além de esboçar o gráfico em [-2,2]. O conteúdo envolvido é cálculo de limites laterais em função piecewise e análise de continuidade, seguido de um esboço da forma de cada ramo.

Passo 2

Para xto0^- usamos o ramo f(x)=x^2. Como x^2 é contínua em todo lugar,
limxto0^-f(x)=limxto0^-x^2=0
Para xto0^+ usamos o ramo f(x)=1-x. Também contínuo, dá
limxto0^+f(x)=limxto0^+(1-x)=1

Passo 3

Como os limites laterais em 0 são diferentes ( 0 e 1), a versão geral
limxto0f(x) não existe.

Passo 4

Para xto1^- o ramo é f(x)=1-x, logo
limxto1^-f(x)=limxto1^-(1-x)=0
Para xto1^+ o ramo é f(x)=(x-1)^2, então
limxto1^+f(x)=limxto1^+(x-1)^2=0

Passo 5

Os limites laterais em 1 coincidem ( 0), portanto
limxto1f(x)=0.

Passo 6

Nenhuma das três regras define f(1) (não há caso para x=1 em 0<x<1 nem em x>1 nem em x<=0), logo f(1) não está definida.

Passo 7

Esboço em [-2,2]:
  • Para x<=0, é a parábola y=x^2 com ponto fechado em (0,0).
  • Em 0<x<1, é a reta decrescente y=1-x, aberta em (0,1) e em (1,0).
  • Para x>1, é a parábola y=(x-1)^2, partindo de (1,0) aberto. Cada ramo é contínuo internamente.

Resposta

(a) 0
(b) 1
(c) não existe (limites laterais diferentes)
(d) 0
(e) 0
(f) f(1) não está definida.

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