Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral tg(x)cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede a família de primitivas de
tg(x)cos(x)
ou seja precisamos calcular
integral tan(x)cos(x),dx
O conteúdo envolvido são identidades trigonométricas básicas e o método de substituição simples para integrais.

Passo 2

Usamos tan(x)=sin(x)cos(x), então
tan(x)cos(x) =sin(x)cos(x)cdot1cos(x) =sin(x)cos^2(x)
A integral fica
integral sin(x)cos^2(x),dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u=cos(x), du=-sin(x),dx Longrightarrow sin(x),dx=-du
Assim
integral sin(x)cos^2(x),dx =integral -duu^2 =-integral u^-2,du

Passo 4

Calculando a integral em u:
-integral u^-2,du =-l(tfracu^-1-1r)+C =1u+C
Voltando a x, obtemos
F(x)=1cos(x)+C =sec(x)+C

Passo 5

Para verificar, derivamos
F'(x)=ddxl[sec(x)r] =sec(x)tan(x) =sin(x)cos^2(x) =tan(x)cos(x),
que coincide com o integrando.

Resposta

sec(x)+C

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