Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral cossec(x)tg(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de primitivas de
integral csc(x)tan(x),dx
O conteúdo envolve identidades trigonométricas e uma substituição do tipo u-substituição (integração imediata).

Passo 2

Use as definições csc(x)=1/sin(x) e tan(x)=sin(x)/cos(x) para reescrever o integrando. Temos:
csc(x)tan(x) = 1/sin(x)sin(x)/cos(x) = cos(x)sin^2(x)

Passo 3

Perceba que cos(x),dx é exatamente d(sin(x)). Faça a substituição
u = sin(x), du = cos(x),dx
Isso transforma o integrando em
cos(x)sin^2(x),dx = duu^2

Passo 4

Integre em u:
integral duu^2 = integral u^-2,du = u^-1-1 + C = -1u + C

Passo 5

Volte à variável x:
-1u + C = -1sin(x) + C = -csc(x) + C

Passo 6

Para verificar, derivamos -csc(x)+C:
ddxl(-csc(x)r) = -l(-csc(x)cot(x)r) = csc(x)cot(x) = 1sin(x)cdotcos(x)sin(x) = cos(x)sin^2(x),
que coincide com a forma simplificada do integrando.

Resposta

-csc(x) + C

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