Q-1 (2 pts) Use integração tripla para calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
, acima do cone
e dentro do cilindro
.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece as superfícies:
- paraboloide
, - cone
, - cilindro lateral
(isto é, um cilindro de raio centrado na origem).
- paraboloide
- O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do paraboloide, acima do cone e contido dentro do cilindro
.
Passo 2
Escolha de coordenadas e escrita do volume como integral tripla — explicando a ideia por trás.
- Observação: a região de projeção no plano
é o disco circular de raio (porque estamos “dentro do cilindro” ). Sempre que a região tem simetria circular, é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (polares no plano ). - Em coordenadas cilíndricas usamos as substituições
onde é a distância ao eixo e é o ângulo polar. O elemento de área/volume tem um fator extra chamado Jacobiano: o elemento de área no plano é e o elemento de volume é . Aqui o aparece porque comprime/estica áreas elementares quando passamos de para . - Traduzindo as superfícies para coordenadas cilíndricas (peguei as equações do enunciado):
- paraboloide:
(porque ), - cone:
, - cilindro:
.
- paraboloide:
- Para cada
no disco , , o varia de baixo (cone) até cima (paraboloide). Portanto o volume pode ser escrito como a integral tripla Explicando cada limite: percorre todo o disco, vai do centro até a borda , e para um fixo vai do valor do cone até o valor do paraboloide .
Passo 3
Integração na variável
(a integral mais simples) e interpretação do resultado.
- Integramos primeiro em
. Como é tratado como constante nessa integral, - Explico a operação: integrar
em relação a é multiplicar pela diferença entre os limites de . O resultado é uma função apenas de (e independente de ).
Passo 4
Simplificação algébrica do integrando radial.
- Desenvolvendo o produto:
- Portanto a integral dupla restante é
Passo 5
Integração em
com detalhes dos passos (antiderivadas e avaliação).
- Calcular a antiderivada em
: Expliquei: cada termo integrado seguindo a regra . - Avaliando de
a : - Calculando cada termo:
- Somando:
Passo 6
Integração em
final e resultado numérico.
- O integrando após fazer a integral em
não depende de , então - Interpretação rápida: a presença do fator
vem da rotação completa ao redor do eixo; o resto é a “área radial acumulada” que calculamos.
Passo 7
Resumo prático — como lembrar disso na prova (dicas rápidas e encorajamento).
- Quando o sólido tem simetria circular, pense imediatamente em passar para coordenadas cilíndricas/polares:
e lembre do Jacobiano . - Para volumes entre duas superfícies
e sobre uma região do plano, uma forma rápida é e em coordenadas polares . Neste exercício esse método é exatamente o que fizemos (integrando em primeiro dá a diferença ). - Força: deu trabalho, mas o passo-a-passo é direto. Você consegue repetir isso na prova — identifique a projeção no plano, escolha coordenadas convenientes, escreva os limites e integre na ordem que simplifica (normalmente primeiro em
quando se tem superfícies ).