Q-1 (2 pts) Use integração tripla para calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z=8-x^{2}-y^{2}, acima do cone z=-\sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}} e dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece as superfícies:
    • paraboloide z=8-x^{2}-y^{2},
    • cone z=-\sqrt{4x^{2}+4y^{2}},
    • cilindro lateral x^{2}+y^{2}=4 (isto é, um cilindro de raio 2 centrado na origem).
  • O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do paraboloide, acima do cone e contido dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=4.

Passo 2

Escolha de coordenadas e escrita do volume como integral tripla — explicando a ideia por trás.
  • Observação: a região de projeção no plano xy é o disco circular de raio 2 (porque estamos “dentro do cilindro” x^{2}+y^{2}=4). Sempre que a região tem simetria circular, é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (polares no plano xy).
  • Em coordenadas cilíndricas usamos as substituições x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,onde r\ge0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar. O elemento de área/volume tem um fator extra chamado Jacobiano: o elemento de área no plano é dA = r\,dr\,d\theta e o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Aqui o r aparece porque comprime/estica áreas elementares quando passamos de (x,y) para (r,\theta).
  • Traduzindo as superfícies para coordenadas cilíndricas (peguei as equações do enunciado):
    • paraboloide: z = 8 - r^{2} (porque x^{2}+y^{2}=r^{2}),
    • cone: z = -\sqrt{4x^{2}+4y^{2}} = -\sqrt{4r^{2}} = -2r,
    • cilindro: r=2.
  • Para cada (r,\theta) no disco 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi, o z varia de baixo (cone) até cima (paraboloide). Portanto o volume pode ser escrito como a integral tripla V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=-2r}^{\,8-r^{2}} r\;dz\;dr\;d\theta.Explicando cada limite: \theta percorre todo o disco, r vai do centro até a borda r=2, e para um r fixo z vai do valor do cone -2r até o valor do paraboloide 8-r^{2}.

Passo 3

Integração na variável z (a integral mais simples) e interpretação do resultado.
  • Integramos primeiro em z. Como r é tratado como constante nessa integral, \int_{z=-2r}^{\,8-r^{2}} r\;dz = r\big[(8-r^{2})-(-2r)\big] = r\big(8 - r^{2} + 2r\big).
  • Explico a operação: integrar r em relação a z é multiplicar r pela diferença entre os limites de z. O resultado é uma função apenas de r (e independente de \theta).

Passo 4

Simplificação algébrica do integrando radial.
  • Desenvolvendo o produto: r\big(8 - r^{2} + 2r\big) = 8r + 2r^{2} - r^{3}.
  • Portanto a integral dupla restante é V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\big(8r + 2r^{2} - r^{3}\big)\;dr\;d\theta.

Passo 5

Integração em r com detalhes dos passos (antiderivadas e avaliação).
  • Calcular a antiderivada em r: \int\big(8r + 2r^{2} - r^{3}\big)\,dr = 4r^{2} + \frac{2}{3}r^{3} - \frac{1}{4}r^{4} + C.Expliquei: cada termo integrado seguindo a regra \int r^{n}\,dr = \dfrac{r^{n+1}}{n+1}.
  • Avaliando de r=0 a r=2: \Big[4r^{2} + \frac{2}{3}r^{3} - \frac{1}{4}r^{4}\Big]_{0}^{2} = \Big(4\cdot 2^{2} + \frac{2}{3}\cdot 2^{3} - \frac{1}{4}\cdot 2^{4}\Big) - 0.
  • Calculando cada termo: 4\cdot 2^{2} = 4\cdot 4 = 16, \qquad \frac{2}{3}\cdot 2^{3} = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}, \qquad \frac{1}{4}\cdot 2^{4} = \frac{1}{4}\cdot 16 = 4.
  • Somando: 16 + \dfrac{16}{3} - 4 = 12 + \dfrac{16}{3} = \dfrac{36+16}{3} = \dfrac{52}{3}.

Passo 6

Integração em \theta final e resultado numérico.
  • O integrando após fazer a integral em r não depende de \theta, então V=\int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{52}{3}\;d\theta = \frac{52}{3}\cdot (2\pi) = \frac{104\pi}{3}.
  • Interpretação rápida: a presença do fator 2\pi vem da rotação completa ao redor do eixo; o resto é a “área radial acumulada” que calculamos.

Passo 7

Resumo prático — como lembrar disso na prova (dicas rápidas e encorajamento).
  • Quando o sólido tem simetria circular, pense imediatamente em passar para coordenadas cilíndricas/polares: x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta e lembre do Jacobiano r.
  • Para volumes entre duas superfícies z=z_{top}(r,\theta) e z=z_{bot}(r,\theta) sobre uma região D do plano, uma forma rápida é V=\iint_{D}\big(z_{top}-z_{bot}\big)\,dA,e em coordenadas polares dA=r\,dr\,d\theta. Neste exercício esse método é exatamente o que fizemos (integrando em z primeiro dá a diferença z_{top}-z_{bot}).
  • Força: deu trabalho, mas o passo-a-passo é direto. Você consegue repetir isso na prova — identifique a projeção no plano, escolha coordenadas convenientes, escreva os limites e integre na ordem que simplifica (normalmente primeiro em z quando se tem superfícies z=\dots).

Resposta

\dfrac{104\pi}{3}

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