Q 3 (2,0 ptos) Seja E uma base de \vee^{3}. Sendo \vec{u}=(1,-1,3)_{E}, \vec{v}=(2,1,3)_{E} e \vec{w}=(-1,-1,4), verifique se \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá que E é uma base de um espaço vetorial de dimensão 3 e fornece as coordenadas dos vetores relativas a essa base (estou assumindo que todas as coordenadas estão em relação à mesma base E). Os dados são:
  • \vec{u}=(1,-1,3)_{E},
  • \vec{v}=(2,1,3)_{E},
  • \vec{w}=(-1,-1,4)_{E}.
A pergunta é: verificar se \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Ou seja, existe escalares \alpha e \beta tais que \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w}?

Passo 2

O que significa ser combinação linear? Significa que é preciso encontrar números (escalares) \alpha e \beta tais que a soma ponderada dos vetores \vec{u} e \vec{v} dê exatamente \vec{w}. Como temos as coordenadas relativas à mesma base, podemos trabalhar componente a componente: se
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w},
então, escrevendo coordenadas,
\alpha(1,-1,3)+\beta(2,1,3)=(-1,-1,4).
Isto gera um sistema de três equações lineares nas incógnitas \alpha e \beta, uma por componente.

Passo 3

Escrevendo as equações por componente obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = -1,\\[4pt] -\alpha + \beta = -1,\\[4pt] 3\alpha + 3\beta = 4. \end{cases}
Cada linha vem de igualar a componente correspondente do lado esquerdo com a do lado direito.]

Passo 4

Vamos resolver o sistema de forma direta e checar consistência. Da segunda equação temos
-\alpha+\beta=-1 \quad\Rightarrow\quad \beta=\alpha-1.
Substituindo essa expressão na primeira equação:
\alpha+2(\alpha-1)=-1 \quad\Rightarrow\quad \alpha+2\alpha-2=-1 \quad\Rightarrow\quad 3\alpha=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\tfrac{1}{3}.
Com \alpha=\tfrac{1}{3} obtemos
\beta=\alpha-1=\tfrac{1}{3}-1=-\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Agora verificamos se esses valores satisfazem a terceira equação. Calculemos 3\alpha+3\beta:
3\alpha+3\beta=3\bigl(\alpha+\beta\bigr)=3\Bigl(\tfrac{1}{3}+(-\tfrac{2}{3})\Bigr)=3\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)=-1.
Mas a terceira equação exige 3\alpha+3\beta=4. Portanto os valores obtidos a partir das duas primeiras equações não satisfazem a terceira: há uma contradição. Isso mostra que o sistema é inconsistente, ou seja, não existem \alpha,\beta que satisfaçam as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

Não, \vec{w} não é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.

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