Q 3 (2,0 ptos) Seja E uma base de \vee^{3}. Sendo \vec{u}=(1,-1,3)_{E}, \vec{v}=(2,1,3)_{E} e \vec{w}=(-1,-1,4), verifique se \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.
Passo 1
O enunciado dá que E é uma base de um espaço vetorial de dimensão 3 e fornece as coordenadas dos vetores relativas a essa base (estou assumindo que todas as coordenadas estão em relação à mesma base E). Os dados são:
\vec{u}=(1,-1,3)_{E},
\vec{v}=(2,1,3)_{E},
\vec{w}=(-1,-1,4)_{E}.
A pergunta é: verificar se \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Ou seja, existe escalares \alpha e \beta tais que \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w}?
Passo 2
O que significa ser combinação linear? Significa que é preciso encontrar números (escalares) \alpha e \beta tais que a soma ponderada dos vetores \vec{u} e \vec{v} dê exatamente \vec{w}. Como temos as coordenadas relativas à mesma base, podemos trabalhar componente a componente: se
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w},
então, escrevendo coordenadas,
\alpha(1,-1,3)+\beta(2,1,3)=(-1,-1,4).
Isto gera um sistema de três equações lineares nas incógnitas \alpha e \beta, uma por componente.
Passo 3
Escrevendo as equações por componente obtemos o sistema
Mas a terceira equação exige 3\alpha+3\beta=4. Portanto os valores obtidos a partir das duas primeiras equações não satisfazem a terceira: há uma contradição. Isso mostra que o sistema é inconsistente, ou seja, não existem \alpha,\beta que satisfaçam as três equações ao mesmo tempo.
Resposta
Não, \vec{w} não é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.