Q. 3 (2 pts)

i) Determine a relação de recorrência sobre os coeficientes a_{n} de uma solução em série de potências y(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n} para a equação diferencial
y^{\prime \prime}-x \cdot y^{\prime}=0
ii) Determine as 3 primeiras parcelas não-nulas da solução que tem y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a relação de recorrência entre os coeficientes a_{n} de uma solução em série de potências
y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}
para a equação diferencial
y'' - x\,y' = 0.
  1. A partir dessa solução em série, determinar as três primeiras parcelas não-nulas da solução que satisfaz as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
Informações dadas que vamos usar:
  • A solução tem a forma em série \displaystyle y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}.
  • Condições iniciais: \displaystyle y(0)=0 e \displaystyle y'(0)=1.
    Nada mais será assumido; a resolução começa a partir dessas expressões.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas termo a termo da série (isso é permitido quando a série de potências tem raio de convergência não nulo, e aqui usamos o procedimento formal padrão). Escrevo as derivadas em forma que facilite comparação termo a termo.
A série original é
y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}.
A primeira derivada, derivando cada termo a_n x^n, fica
y'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} n\,a_{n} x^{n-1}.
Para alinhar as potências em x^n (fazer soma em potências x^n com índice começando em n=0), reindexamos mudando n por n+1. Assim
y'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\,a_{n+1} x^{n}.
A segunda derivada, derivando y', é
y''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)\,a_{n} x^{n-2}.
Reindexando com n\mapsto n+2 para obter potências x^n com n começando em 0, obtemos
y''(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2} x^{n}.
Agora escrevo o termo x\,y'(x). Usando a expressão reindexada para y',
x\,y'(x)=x\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\,a_{n+1} x^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\,a_{n+1} x^{n+1}.
Reindexando essa soma para expressá-la em potências x^n: seja m=n+1, então
x\,y'(x)=\sum_{m=1}^{+\infty} m\,a_{m} x^{m}.
(Observe que o termo correspondente a m=0 não aparece — a soma começa em m=1.)

Passo 3

Substituo y'' e x\,y' na equação diferencial
y'' - x\,y' = 0.
Isso dá
\sum_{n=0}^{+\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2} x^{n} \;-\; \sum_{n=1}^{+\infty} n\,a_{n} x^{n} \;=\; 0.
Agora igualamos coeficientes de potências iguais de x. Comecemos separando o termo de x^{0} (ou seja n=0) da primeira soma: para n=0 a primeira soma dá 2\cdot1\cdot a_{2}=2a_{2}. A segunda soma não tem termo em x^{0} porque começa em n=1. Portanto, o coeficiente de x^{0}
2\,a_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=0.
Para potências x^{n} com n\ge 1, os coeficientes se somam e devem ser zero:
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} - n\,a_{n} = 0,\qquad n=1,2,3,\dots
Isolando a_{n+2} obtemos a relação de recorrência
\boxed{\,a_{n+2}=\dfrac{n\,a_{n}}{(n+2)(n+1)}\,,\qquad n\ge 0\,}
(esta fórmula vale também para n=0 — nesse caso ela dá a_2=0, como já vimos).
Explicação do que a fórmula diz: cada coeficiente dois índices à frente a_{n+2} é dado por uma razão envolvendo a_n. Assim a série se “separa” em duas sub-séries (índices pares e ímpares) que se relacionam por saltos de 2.

Passo 4

Aplicamos agora as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes.
A condição y(0)=0 é simplesmente o valor da série em x=0, que é a_{0}. Logo
a_{0}=0.
A condição y'(0)=1 é o coeficiente do termo x^0 em y'(x). Como y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n}, o coeficiente em x^{0} é (0+1)a_{1}=a_{1}. Portanto
a_{1}=1.
Usamos a recorrência para calcular os coeficientes seguintes, passo a passo, sempre mostrando as contas:
  • Para n=0: a_{2}=\dfrac{0\cdot a_{0}}{2\cdot1}=0. (Já tínhamos visto a_2=0.)
  • Para n=1: a_{3}=\dfrac{1\cdot a_{1}}{3\cdot2}=\dfrac{a_{1}}{6}=\dfrac{1}{6}.
  • Para n=2: a_{4}=\dfrac{2\cdot a_{2}}{4\cdot3}=\dfrac{2\cdot 0}{12}=0.
  • Para n=3: a_{5}=\dfrac{3\cdot a_{3}}{5\cdot4}=\dfrac{3\cdot(1/6)}{20}=\dfrac{1/2}{20}=\dfrac{1}{40}.
Observação (útil para prova): como a_{0}=0 e a recorrência liga a_{n+2} a a_n, todos os coeficientes de índice par serão zero (porque a_0=0\Rightarrow a_2=0\Rightarrow a_4=0\Rightarrow\cdots). Assim só aparecem termos de potências ímpares na solução com essas condições iniciais.

Passo 5

Escrevo agora as três primeiras parcelas não-nulas da série solução usando os coeficientes calculados:
y(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}+\cdots.
Substituindo a_{0}=0, a_{1}=1, a_{2}=0, a_{3}=1/6, a_{4}=0, a_{5}=1/40, obtemos as três primeiras parcelas não-nulas:
y(x)=x+\dfrac{1}{6}x^{3}+\dfrac{1}{40}x^{5}+\cdots.

Resposta

\displaystyle a_{n+2}=\dfrac{n\,a_{n}}{(n+2)(n+1)} \
\displaystyle y(x)=x+\dfrac{1}{6}x^{3}+\dfrac{1}{40}x^{5}+\cdots

Exercícios relacionados