Q. 3 (2 pts)
i) Determine a relação de recorrência sobre os coeficientes
de uma solução em série de potências
para a equação diferencial
ii) Determine as 3 primeiras parcelas não-nulas da solução que tem
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a relação de recorrência entre os coeficientes
de uma solução em série de potências
para a equação diferencial
- A partir dessa solução em série, determinar as três primeiras parcelas não-nulas da solução que satisfaz as condições iniciais
e .
Informações dadas que vamos usar:
- A solução tem a forma em série
. - Condições iniciais:
e .
Nada mais será assumido; a resolução começa a partir dessas expressões.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas termo a termo da série (isso é permitido quando a série de potências tem raio de convergência não nulo, e aqui usamos o procedimento formal padrão). Escrevo as derivadas em forma que facilite comparação termo a termo.
A série original é
A primeira derivada, derivando cada termo
, fica
Para alinhar as potências em
(fazer soma em potências
com índice começando em
), reindexamos mudando
por
. Assim
A segunda derivada, derivando
, é
Reindexando com
para obter potências
com
começando em
, obtemos
Agora escrevo o termo
. Usando a expressão reindexada para
,
Reindexando essa soma para expressá-la em potências
: seja
, então
(Observe que o termo correspondente a
não aparece — a soma começa em
.)
Passo 3
Substituo
e
na equação diferencial
Isso dá
Agora igualamos coeficientes de potências iguais de
. Comecemos separando o termo de
(ou seja
) da primeira soma: para
a primeira soma dá
. A segunda soma não tem termo em
porque começa em
. Portanto, o coeficiente de
dá
Para potências
com
, os coeficientes se somam e devem ser zero:
Isolando
obtemos a relação de recorrência
(esta fórmula vale também para
— nesse caso ela dá
, como já vimos).
Explicação do que a fórmula diz: cada coeficiente dois índices à frente
é dado por uma razão envolvendo
. Assim a série se “separa” em duas sub-séries (índices pares e ímpares) que se relacionam por saltos de 2.
Passo 4
Aplicamos agora as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes.
A condição
é simplesmente o valor da série em
, que é
. Logo
A condição
é o coeficiente do termo
em
. Como
, o coeficiente em
é
. Portanto
Usamos a recorrência para calcular os coeficientes seguintes, passo a passo, sempre mostrando as contas:
- Para
: . (Já tínhamos visto .) - Para
: - Para
: - Para
:
Observação (útil para prova): como
e a recorrência liga
a
, todos os coeficientes de índice par serão zero (porque
). Assim só aparecem termos de potências ímpares na solução com essas condições iniciais.
Passo 5
Escrevo agora as três primeiras parcelas não-nulas da série solução usando os coeficientes calculados:
Substituindo
,
,
,
,
,
, obtemos as três primeiras parcelas não-nulas: