Questão 1 (2 pts) Sobre a função
, onde
é o tempo, podemos afirmar:
- Satisfaz a equação
e pode representar o esfriamento de uma barra.
- Satisfaz
e
pode representar o esfriamento de uma barra.
- Satisfaz
e
pode representar o movimento sem atrito de uma corda.
- Satisfaz
e e
pode representar o movimento sem atrito de uma corda.
- Satisfaz
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e apresenta cinco afirmações numeradas de
a
.
O que se pede: identificar quais dessas afirmações são verdadeiras, verificando diretamente as equações diferenciais parciais que cada item menciona e comentar se pode representar o fenômeno físico indicado (esfriamento de uma barra ou movimento sem atrito de uma corda).
Informações fornecidas: a expressão explícita de . Nada mais é dado (não há condições iniciais ou de contorno no enunciado).
O que se pede: identificar quais dessas afirmações são verdadeiras, verificando diretamente as equações diferenciais parciais que cada item menciona e comentar se
Informações fornecidas: a expressão explícita de
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais em relação a
. Lembre-se: ao derivar parcialmente em relação a
, tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
. Portanto,
Explicação didática: escrevemos
como produto, mas
depende só de
, então é como multiplicar por uma constante quando derivamos em
.
Passo 3
Agora a segunda derivada parcial em
. Derivando
em relação a
,
Observação: a segunda derivada de
é
, por isso aparece
. Note que podemos relacionar isso com
diretamente:
Passo 4
Agora calculemos derivadas em relação a
. Ao derivar em
,
é tratada como constante. A derivada de
é
, então
Derivando novamente em
(para obter
), usamos que
, então
Relacionando com
:
Passo 5
Agora que temos expressões simples em função de
para
e
, vamos testar cada afirmação substituindo:
- Para referência:
, , .
- Teste da afirmação 1:
. Substituindo:
Comparando coeficientes (em
) obteríamos
para todo
, o que não é verdadeiro. Logo a afirmação 1 é falsa.
- Teste da afirmação 2:
. Substituindo:
LHS é
. Igualar dá
para todo
, também falso. Logo a afirmação 2 é falsa.
- Teste da afirmação 3:
. Substituindo:
Isto exigiria
, ou
para todo
, o que só ocorreria para a solução trivial
. Portanto, 3 é falsa.
- Teste da afirmação 4:
. Substituindo:
As duas partes coincidem identicamente, então a igualdade é verdadeira. Portanto a equação é satisfeita por
.
- Teste da afirmação 5:
. Substituindo:
que não é identicamente zero a menos que
. Logo a afirmação 5 é falsa.
Passo 6
Interpretação física (didática e curta):
- A equação do calor (esfriamento de uma barra unidimensional) tem a forma
com . Como nenhuma das igualdades testadas com foi satisfeita (itens 1 e 2 são falsos), não satisfaz uma equação de calor simples com coeficiente positivo mostrada nas alternativas, portanto não representa diretamente esse processo nas alternativas dadas. - A equação da onda (movimento sem atrito de uma corda) tem a forma
. A afirmação corresponde a , ou seja . Como satisfaz , ela pode, sim, representar um modo de vibração de uma corda sem atrito (faltariam condições iniciais e de contorno para definir um problema físico completo, mas a equação em si é a de onda com ).