Questão 1 (2 pts) Sobre a função u(x, t)=\cos (t) \cdot \operatorname{sen}(2 x), onde t é o tempo, podemos afirmar:
  1. Satisfaz a equação \frac{\partial u}{\partial t}=4 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} e pode representar o esfriamento de uma barra.
  2. Satisfaz \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} e u(x, t) pode representar o esfriamento de uma barra.
  3. Satisfaz \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=4 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} e u(x, t) pode representar o movimento sem atrito de uma corda.
  4. Satisfaz \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} e e u(x, t) pode representar o movimento sem atrito de uma corda.
  5. Satisfaz \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função \;u(x,t)=\cos(t)\cdot\operatorname{sen}(2x)\; e apresenta cinco afirmações numeradas de 1 a 5.
O que se pede: identificar quais dessas afirmações são verdadeiras, verificando diretamente as equações diferenciais parciais que cada item menciona e comentar se u(x,t) pode representar o fenômeno físico indicado (esfriamento de uma barra ou movimento sem atrito de uma corda).
Informações fornecidas: a expressão explícita de u(x,t). Nada mais é dado (não há condições iniciais ou de contorno no enunciado).

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais em relação a t. Lembre-se: ao derivar parcialmente em relação a t, tratamos x como constante. A derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t). Portanto,
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\cos(t)\cdot\sin(2x)\bigr)=-\sin(t)\cdot\sin(2x).
Explicação didática: escrevemos \cos(t)\cdot\sin(2x) como produto, mas \sin(2x) depende só de x, então é como multiplicar por uma constante quando derivamos em t.

Passo 3

Agora a segunda derivada parcial em t. Derivando \frac{\partial u}{\partial t}=-\sin(t)\sin(2x) em relação a t,
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(-\sin(t)\sin(2x)\bigr)=-\cos(t)\sin(2x).
Observação: a segunda derivada de \cos(t) é -\cos(t), por isso aparece -\cos(t)\sin(2x). Note que podemos relacionar isso com u diretamente:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=-\cos(t)\sin(2x)=-u(x,t).

Passo 4

Agora calculemos derivadas em relação a x. Ao derivar em x, \cos(t) é tratada como constante. A derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x), então
\frac{\partial u}{\partial x}=\cos(t)\cdot 2\cos(2x)=2\cos(t)\cos(2x).
Derivando novamente em x (para obter \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}), usamos que \frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x), então
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=2\cos(t)\cdot(-2\sin(2x))=-4\cos(t)\sin(2x).
Relacionando com u:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-4\cos(t)\sin(2x)=-4u(x,t).

Passo 5

Agora que temos expressões simples em função de u para \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} e \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}, vamos testar cada afirmação substituindo:
  • Para referência: \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=-\sin(t)\sin(2x), \displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=-u, \displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-4u.
  1. Teste da afirmação 1: \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=4\cdot\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}. Substituindo:
\text{LHS}=-\sin(t)\sin(2x),\qquad \text{RHS}=4\cdot(-4u)=-16u=-16\cos(t)\sin(2x).
Comparando coeficientes (em \sin(2x)) obteríamos -\sin(t)=-16\cos(t) para todo t, o que não é verdadeiro. Logo a afirmação 1 é falsa.
  1. Teste da afirmação 2: \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\tfrac{1}{4}\cdot\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}. Substituindo:
\text{RHS}=\tfrac{1}{4}\cdot(-4u)=-u=-\cos(t)\sin(2x).
LHS é -\sin(t)\sin(2x). Igualar dá -\sin(t)=-\cos(t) para todo t, também falso. Logo a afirmação 2 é falsa.
  1. Teste da afirmação 3: \displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=4\cdot\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}. Substituindo:
\text{LHS}=-u,\qquad \text{RHS}=4\cdot(-4u)=-16u.
Isto exigiria -u=-16u, ou 15u=0 para todo x,t, o que só ocorreria para a solução trivial u\equiv0. Portanto, 3 é falsa.
  1. Teste da afirmação 4: \displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\tfrac{1}{4}\cdot\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}. Substituindo:
\text{RHS}=\tfrac{1}{4}\cdot(-4u)=-u,\qquad \text{LHS}=-u.
As duas partes coincidem identicamente, então a igualdade é verdadeira. Portanto a equação é satisfeita por u.
  1. Teste da afirmação 5: \displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0. Substituindo:
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=-u+(-4u)=-5u,
que não é identicamente zero a menos que u\equiv0. Logo a afirmação 5 é falsa.

Passo 6

Interpretação física (didática e curta):
  • A equação do calor (esfriamento de uma barra unidimensional) tem a forma \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} com k>0. Como nenhuma das igualdades testadas com u_t foi satisfeita (itens 1 e 2 são falsos), u(x,t) não satisfaz uma equação de calor simples com coeficiente positivo mostrada nas alternativas, portanto não representa diretamente esse processo nas alternativas dadas.
  • A equação da onda (movimento sem atrito de uma corda) tem a forma \displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}. A afirmação 4 corresponde a c^{2}=\tfrac{1}{4}, ou seja c=\tfrac{1}{2}. Como u satisfaz \displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\tfrac{1}{4}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}, ela pode, sim, representar um modo de vibração de uma corda sem atrito (faltariam condições iniciais e de contorno para definir um problema físico completo, mas a equação em si é a de onda com c=\tfrac{1}{2}).

Resposta

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