Q. 7 Resolva y^{\prime}=-\frac{y}{x}+x^{2}, para x>0. (esta a turma D1 já tinha começado em aula)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'=-\frac{y}{x}+x^{2},
para x>0. O conteúdo é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'+P(x)\,y=Q(x),
onde aqui
P(x)=\frac{1}{x}, \qquad Q(x)=x^{2}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx} =e^{\int \frac{1}{x}\,dx} =e^{\ln x} =x.

Passo 4

Multiplicando toda a equação por \mu(x)=x, obtemos
x\,y'+y=x\cdot x^{2}=x^{3}.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de x\,y, pois
\frac{d}{dx}(x\,y)=x\,y'+y.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\frac{d}{dx}(x\,y)=x^{3} \quad\Longrightarrow\quad x\,y=\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C,
onde C é a constante de integração. Dividindo por x, chega-se a
y=\frac{x^{4}}{4x}+\frac{C}{x} =\frac{x^{3}}{4}+\frac{C}{x}.

Resposta

y(x)=\frac{x^{3}}{4}+\frac{C}{x},\quad C\in\mathbb{R}.

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