Q. 4 Resolva y^{\prime}=-y+1 com duas opções de condição inicial:
i) y(0)=1 ou ii) y(0)=5.
Esboce o espaço de fase.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a EDO autonôma
y' = -y + 1
com as condições iniciais y(0)=1 e y(0)=5. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem com coeficiente constante.

Passo 2

Reescrevemos como
\frac{dy}{dt} + y = 1.
O fator integrante é \mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}. Multiplicando a equação por e^{t} vem
e^{t}y' + e^{t}y = e^{t},
e o lado esquerdo é \tfrac{d}{dt}(e^{t}y). Integrando,
\frac{d}{dt}(e^{t}y) = e^{t} \quad\Longrightarrow\quad e^{t}y = \int e^{t}dt + C = e^{t} + C.
Dividindo por e^{t}, a solução geral é
y(t) = 1 + C e^{-t}.

Passo 3

Para y(0)=1 temos
1 = 1 + C e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = 0.
Logo, com y(0)=1
y(t) = 1.

Passo 4

Para y(0)=5 impomos
5 = 1 + C e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = 4.
Então, com y(0)=5
y(t) = 1 + 4e^{-t}.

Passo 5

O espaço de fase é a reta unidimensional em y, em que as setas indicam o sinal de y'=-y+1. O ponto de equilíbrio satisfaz
-y+1=0 \quad\Longrightarrow\quad y^*=1,
e como \tfrac{d}{dy}(-y+1)=-1<0, esse ponto é estável. Para y>1, y'<0 (setas apontam para baixo, em direção a 1); para y<1, y'>0 (setas apontam para cima, em direção a 1).

Resposta

i) y(t)=1
ii) y(t)=1+4e^{-t}
O espaço de fase é uma reta em y com único equilíbrio estável em y=1; setas apontam de níveis maiores que 1 para baixo e de níveis menores que 1 para cima.

Exercícios relacionados