Q. 3 Considere aplicar o Teorema de Picard em
onde suponho
.
Em que região do plano se espera a estrutura local trivial (o pequeno baralho de cartas) ?
Resolva esse equação (separada !) e veja se ao longo de
há a estrutura local trivial (que inclui que as soluções sejam gráficos
).
Em que região do plano se espera a estrutura local trivial (o pequeno baralho de cartas) ?
Resolva esse equação (separada !) e veja se ao longo de
Passo 1
O enunciado pede para verificar onde podemos aplicar o Teorema de Picard à equação
supondo
. Pelo Teorema de Picard, precisamos de uma região em que a função
e sua derivada parcial em relação a
,
sejam contínuas. Ambas são contínuas sempre que
. Logo, devemos escolher uma região aberta que não toque a reta
.
Passo 2
Uma escolha típica de região é qualquer faixa horizontal que não interseccione o eixo
, por exemplo
Em cada uma dessas regiões
e
são contínuas e limitadas em qualquer retângulo compacto contido em
ou em
. Assim, em torno de qualquer ponto com
existe existência e unicidade de solução (estrutura local trivial).
Passo 3
Agora resolvemos a equação por separação de variáveis. Escrevemos
Integrando ambos os lados,
onde
é constante de integração. Multiplicando por 2,
com
. São círculos centrados na origem.
Passo 4
As soluções implícitas são
Para escrever em forma de gráfico em
tomamos a raiz positiva,
e, em
, a raiz negativa,
Note que em pontos onde
não podemos resolver para
como função suave de
; nesses pontos o coeficiente angular seria infinito e a equação original nem está definida (divisão por zero).
Passo 5
Ao longo de
a função
não está definida e não satisfaz as hipóteses do Teorema de Picard. Não existe estrutura local trivial em volta de pontos com
, tampouco as soluções podem ser escritas como gráficos
nessas vizinhanças.
Resposta
A estrutura local trivial (ex. existência e unicidade segundo Picard) vale em qualquer região que não interseccione a reta
, por exemplo nas regiões
ou
.
As soluções gerais são dadas implicitamente por
As soluções gerais são dadas implicitamente por
isto é, em
,
, e em
,
.
Não há estrutura local trivial nem representação ao longo de
.
Não há estrutura local trivial nem representação