Q. 3 Considere aplicar o Teorema de Picard em
y^{\prime}=-\frac{x}{y}
onde suponho y \neq 0.
Em que região do plano se espera a estrutura local trivial (o pequeno baralho de cartas) ?
Resolva esse equação (separada !) e veja se ao longo de y=0 há a estrutura local trivial (que inclui que as soluções sejam gráficos y=y(x) ).

Passo 1

O enunciado pede para verificar onde podemos aplicar o Teorema de Picard à equação
y' = -\frac{x}{y},
supondo y\neq0. Pelo Teorema de Picard, precisamos de uma região em que a função
f(x,y) = -\frac{x}{y}
e sua derivada parcial em relação a y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{-1}\bigr) = x\,y^{-2},
sejam contínuas. Ambas são contínuas sempre que y\neq0. Logo, devemos escolher uma região aberta que não toque a reta y=0.

Passo 2

Uma escolha típica de região é qualquer faixa horizontal que não interseccione o eixo x, por exemplo
D^+ = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y > 0\} \quad\text{ou}\quad D^- = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y < 0\}.
Em cada uma dessas regiões f e \partial f/\partial y são contínuas e limitadas em qualquer retângulo compacto contido em D^+ ou em D^-. Assim, em torno de qualquer ponto com y\neq0 existe existência e unicidade de solução (estrutura local trivial).

Passo 3

Agora resolvemos a equação por separação de variáveis. Escrevemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \quad\Longrightarrow\quad y\,dy = -x\,dx.
Integrando ambos os lados,
\int y\,dy = \int -x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 2,
y^2 + x^2 = C',
com C' = 2C. São círculos centrados na origem.

Passo 4

As soluções implícitas são
y^2 + x^2 = C'.
Para escrever em forma de gráfico em D^+ tomamos a raiz positiva,
y(x) = +\sqrt{C' - x^2},
e, em D^-, a raiz negativa,
y(x) = -\sqrt{C' - x^2}.
Note que em pontos onde y=0 não podemos resolver para y como função suave de x; nesses pontos o coeficiente angular seria infinito e a equação original nem está definida (divisão por zero).

Passo 5

Ao longo de y=0 a função f(x,y) não está definida e não satisfaz as hipóteses do Teorema de Picard. Não existe estrutura local trivial em volta de pontos com y=0, tampouco as soluções podem ser escritas como gráficos y=y(x) nessas vizinhanças.

Resposta

A estrutura local trivial (ex. existência e unicidade segundo Picard) vale em qualquer região que não interseccione a reta y=0, por exemplo nas regiões y>0 ou y<0.
As soluções gerais são dadas implicitamente por
y^2 + x^2 = C',
isto é, em y>0, y(x)=\sqrt{C'-x^2}, e em y<0, y(x)=-\sqrt{C'-x^2}.
Não há estrutura local trivial nem representação y=y(x) ao longo de y=0.

Exercícios relacionados