Q 7 Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear definida por T(x, y, z)=(x+y, 2 x-y+z, 3 x+z), determine:
a) Uma base para o núcleo de T e, portanto, sua dimensão;
b) Uma base para a imagem de T e, portanto, sua dimensão;
c) Se T é injetiva;
d) Se T é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x+y,;2x - y + z,;3x + z)
Vamos determinar:
a) ker T (base e dimensão),
b) ImT (base e dimensão),
c) se T é injetiva,
d) se T é sobrejetiva.

Passo 2

Para achar
Da primeira equação vem é
portanto .

Passo 3

Para a imagem, consideramos a matriz de T na base canônica:
A = 1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 3 & 0 & 1 ,
cujas colunas são T(e1)=(1,2,3), T(e2)=(1,-1,0), T(e3)=(0,1,1).
Calculamos o determinante de A:
det(A) =1cdotdet-1&10&1 -1cdotdet2&13&1 +0 =-1 - (2-3) =-1 +1 =0,
logo rankA<3.
Verifica-se que as colunas T(e1) e T(e2) são linearmente independentes, pois não há lambda com (1,2,3)=lambda(1,-1,0). Portanto
ImT = span(1,2,3),,(1,-1,0),
e dim ImT = 2.

Passo 4

Uma transformação linear é injetiva se, e só se, ker T = 0. Aqui ker T tem dimensão 1 (não é trivial), logo T não é injetiva.
Uma transformação linear de R^3 em R^3 é sobrejetiva se, e só se, dim ImT = 3. Aqui dim ImT = 2 < 3, logo T não é sobrejetiva.

Resposta

a) Base de ker T: (1,-1,-3), dimker T=1.
b) Base de ImT: (1,2,3),,(1,-1,0), dimImT=2.
c) T não é injetiva.
d) T não é sobrejetiva.

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