Exercício 24. (D.K. ex. 4.8) Seja
um intervalo aberto. Suponha que
e
. Ache as soluções
de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as distribuições
que satisfazem
onde
é intervalo aberto,
pontos em
e
.
Conteúdo necessário: teoria de distribuições, em particular a primitivação de deltas usando a função de Heaviside.
Conteúdo necessário: teoria de distribuições, em particular a primitivação de deltas usando a função de Heaviside.
Passo 2
Lembramos que a função de Heaviside
satisfaz, em distribuição,
Isto significa que
é uma primitiva de
.
Passo 3
Uma primitiva de
é a soma das primitivas individuais, logo
satisfaz
.
Passo 4
Em equações diferenciais de primeira ordem em
, soma-se uma constante arbitrária
. Assim, a solução geral é
onde
é constante (função constante em
).
Resposta
com
arbitrário e
a função de Heaviside.