Exercício 24. (D.K. ex. 4.8) Seja I subset R um intervalo aberto. Suponha que c1, ldots, cq in C e a1<ldots<aq in R. Ache as soluções u in D^prime(I) de d ud x=sumj=1^q cj de<aaj.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as distribuições uinD'(I) que satisfazem
dudx ;=;sumj=1^qcj,de<aaj,
onde IsubsetR é intervalo aberto, a1<cdots<aq pontos em I e cjinC.
Conteúdo necessário: teoria de distribuições, em particular a primitivação de deltas usando a função de Heaviside.

Passo 2

Lembramos que a função de Heaviside H satisfaz, em distribuição,
ddxH(x-aj) ;=;de<a(x-aj)
Isto significa que cjH(x-aj) é uma primitiva de cj,de<aaj.

Passo 3

Uma primitiva de sumj=1^qcj,de<aaj é a soma das primitivas individuais, logo
urm part(x) ;=; sumj=1^qcj,H(x-aj)
satisfaz
ddxurm part=sumj=1^qcj,de<aaj.

Passo 4

Em equações diferenciais de primeira ordem em D', soma-se uma constante arbitrária CinC. Assim, a solução geral é
u(x)=C ;+;sumj=1^qcj,H(x-aj),
onde C é constante (função constante em I).

Resposta

u(x) =;C ;+;sumj=1^qcj,H(x-aj),
com CinC arbitrário e H a função de Heaviside.

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