Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty n^n3^2 n(x-2)^5 n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^inftyn^n3^2n(x-2)^5n
O conteúdo usado será a transformação da série em potências de uma nova variável e o teste da raiz (ou Cauchy–Hadamard) para determinar o raio.

Passo 2

Definimos a nova variável
u = (x-2)^5,
de modo que a série passa a ser
sumn=1^inftyanu^n, com an = n^n3^2n

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz, que exige o cálculo do limite
L = limntoinftyraiz[n]l|an,u^nr| = limntoinfty raiz[n]n^n3^2n,|u|^n = limntoinftyn3^2,|u| = limntoinftyn9,|u|

Passo 4

Como
limntoinftyn9,|u| = 0 &se |u|=0, +infty &se |u|>0,
a série converge somente quando L<1, isto é, apenas se |u|=0. Logo só converge para
u=0Longrightarrow (x-2)^5=0Longrightarrow x=2

Resposta

O raio de convergência é R=0 e o intervalo de convergência reduz-se ao ponto x=2.

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