Questão 1 (2.5 pts) Calcule integral duplaS rot(F) cdot n d S, sendo
F(x, y, z)=(e^x-y) i+(x z+y^2) j+2 y z k
e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2-4 z=0 abaixo do plano Z=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaSrot(F)cdotn,dS,
onde
F(x,y,z)=(e^x-y),i+(xz+y^2),j+2yz,k
e S é a parte da esfera
,x^2+y^2+z^2-4z=0
abaixo do plano z=1.
O conteúdo é fluxo de rotacional, e vamos usar o Teorema da Divergência aplicado ao rotacional fechando S com o disco de interseção em z=1.

Passo 2

Calculamos
rot(F)=nablatimesF.
Pelo determinante
rot(F) = i&j&k partialx&partialy&partialz e^x-y&xz+y^2&2yz
segue
rot(F) =(2z - x),i +0,j +(z+1),k

Passo 3

Fechamos S com o disco
D:x^2+y^2<=3,;z=1,
formando a superfície fechada Scup D. Pelo Teorema da Divergência vale
integral duplaScup Drot(F)cdotn,dS =integral triplavolnablacdot(nablatimesF),dV =0
já que nablacdot(nablatimesF)=0.
No fechamento, o normal em S é o externo à esfera e em D é o normal externo ao volume, que aponta para baixo ( -k). Logo
integral duplaSrot(F)cdotn,dS =-integral duplaDrot(F)cdotnD,dS

Passo 4

Em D temos nD=-k e z=1, então
rot(F)cdotnD =(2z-x,0,z+1)cdot(-k) =-(z+1)
e, como z+1=2 e a área de D é pi(raiz3)^2=3pi,
integral duplaDrot(F)cdotnD,dS =-2cdot3pi =-6pi
Portanto
integral duplaSrot(F)cdotn,dS =-(-6pi) =6pi

Resposta

6pi

Exercícios relacionados