O enunciado pede calcular ,
onde
e é a parte da esfera
abaixo do plano .
O conteúdo é fluxo de rotacional, e vamos usar o Teorema da Divergência aplicado ao rotacional fechando com o disco de interseção em .
Passo 2
Calculamos .
Pelo determinante
segue
rot(F) =(2z - x),i +0,j +(z+1),k
Passo 3
Fechamos S com o disco D:x^2+y^2<=3,;z=1,
formando a superfície fechada Scup D. Pelo Teorema da Divergência vale
integral duplaScup Drot(F)cdotn,dS =integral triplavolnablacdot(nablatimesF),dV =0
já que nablacdot(nablatimesF)=0.
No fechamento, o normal em S é o externo à esfera e em D é o normal externo ao volume, que aponta para baixo (-k). Logo
integral duplaSrot(F)cdotn,dS =-integral duplaDrot(F)cdotnD,dS