Q. 4(2,7). Simplificando, determine a derivada de cada função a seguir:
(b) g(x)=cos ^7(e^2 x-pi)+(3-x)^3(1-x)^2 ;

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=cos^7l(e^2x-pir)+(3-x)^3(1-x)^2
Para isso vamos usar:
– regra da cadeia para cos^7(e^2x-pi),
– derivada de cos(u), de e^2x e de potências,
– regra do quociente para tfrac(3-x)^3(1-x)^2.

Passo 2

Derivando o primeiro termo T1(x)=cos^7(u) com u=e^2x-pi:
tfracdducos^7(u)=7cos^6(u)cdot(-sin(u)).
tfracdudx=2e^2x.
Logo,
ddxcos^7l(e^2x-pir) =7cos^6(u)l(-sin(u)r)cdot2e^2x =-14e^2xcos^6l(e^2x-pir)sinl(e^2x-pir)

Passo 3

Derivando o segundo termo T2(x)=(3-x)^3(1-x)^2 por quociente:
Defina A(x)=(3-x)^3, B(x)=(1-x)^2.
A'(x)=-3(3-x)^2, B'(x)=-2(1-x)
Pela regra do quociente,
T2'(x) =B,A'-A,B'B^2 =(1-x)^2l[-3(3-x)^2r]-(3-x)^3l[-2(1-x)r](1-x)^4
No numerador fatoramos (3-x)^2(1-x):
-3(3-x)^2(1-x)^2+2(3-x)^3(1-x) =(3-x)^2(1-x)l[-3(1-x)+2(3-x)r]
E
-3(1-x)+2(3-x)=-3+3x+6-2x=3+x
Então
T2'(x) =(3-x)^2(1-x)(3+x)(1-x)^4 =(3-x)^2(3+x)(1-x)^3

Passo 4

Somando as duas derivadas obtemos
g'(x) =-14e^2xcos^6l(e^2x-pir)sinl(e^2x-pir) +(3-x)^2(3+x)(1-x)^3

Resposta

g'(x) =-14e^2xcos^6l(e^2x-pir)sinl(e^2x-pir) +(3-x)^2(3+x)(1-x)^3

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