Q. 1(2,0). Suponha que existam dois mundos, um bidimensional e outro tridimensional, Planolândia e Espaçolândia. No primeiro, os habitantes tenham a forma de polígonos regulares convexos e, no segundo, os habitantes tenham a forma de poliedros convexos. Nestes mundos a nobreza é diretamente proporcional ao número de lados e ao números de faces, respectivamente. Com a noção e a notação adequada de limites, descreva a forma do indivíduo da mais alta nobreza e indique o indivíduo mais pobre, em cada mundo.
Vamos denotar por P P(n) o indíviduo planolandês, em que n in3,4,5, ldots indica a quantidade de lados e P E(m) o indivíduo espaçolandês, em que m in4,5,6, ldots indica a quantidade de faces. Note que P P(3) (triângulo equilátero) e P E(4) (Tetraedro) são os indivíduos mais pobre em seus respectivos planetas. Podemos, enquanto à nobreza, escrever
& P P(3)<P P(4)<P P(5)<P P(6)<P P(7)<ldots<P P(n)<ldots & P E(4)<P E(5)<P E(6)<P E(7)<P E(8)<ldots<P E(m)<ldots
Note que lim n +infty P P(n)=+infty e lim m +infty P E(m)=+infty, indicando que não existe um indivíduo da mais alta nobreza em cada planeta. No entanto, em termos geométricos, supondo que possa existir tal indivíduo, eum em cada planeta, estes deverâo ter forma “muito” próxima ao círculo e à esfera, respectivamente. O círculo é o limite da mais alta nobreza na Planolândia e a esfera é o limite da mais alta nobreza na Espaçolândia, simbolicamente
lim n +infty " forma de" P P(n)= círculo e lim m +infty " forma de" P E(m)= esfera í

Passo 1

O enunciado fala de dois “mundos” geométricos: Planolândia, onde cada habitante é um polígono regular convexo de n lados denotado por P P(n) com n>=3, e Espaçolândia, onde cada habitante é um poliedro convexo de m faces denotado por P E(m) com m>=4. A “nobreza” cresce com o número de lados ou faces. Usando a noção de limites, vamos
1) indicar o indivíduo mais pobre em cada mundo;
2) descrever a forma do indivíduo de “mais alta nobreza” como limite quando nto+infty ou mto+infty.

Passo 2

Em Planolândia temos a cadeia
P P(3)<P P(4)<P P(5)<cdots<P P(n)<cdots
e em Espaçolândia
P E(4)<P E(5)<P E(6)<cdots<P E(m)<cdots
Os menores valores de n e m dão os habitantes mais pobres:
bul<=t P P(3) é o triângulo equilátero, mais pobre em Planolândia.
bul<=t P E(4) é o tetraedro regular, mais pobre em Espaçolândia.

Passo 3

Como não há maior n nem maior m, observamos
limnto+inftyP P(n)=+infty, limmto+inftyP E(m)=+infty,
ou seja, não existe “último” polígono nem “último” poliedro. Mas geometricamente, um polígono regular de n lados aproxima-se cada vez mais de um círculo quando nto+infty. Formalmente,
limnto+inftyforma de P P(n)=círculo í

Passo 4

De modo análogo, se pudéssemos aumentar indefinidamente o número de faces de poliedros convexos, sua forma tenderia à de uma esfera. Assim,
limmto+inftyforma de P E(m)=esfera

Resposta

Indivíduo mais pobre em Planolândia: P P(3) (triângulo equilátero).
Indivíduo mais pobre em Espaçolândia: P E(4) (tetraedro regular).
Indivíduo de “mais alta nobreza” não existe, mas sua forma limite é o círculo em Planolândia e a esfera em Espaçolândia.

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