Foram obtidas em uma determinada empresa, a idade dos carros de profissionais do Haras Cavalo de Ouro, com nível médio e profissionais com nível superior. Determine média, Mediana, Moda, Desvio Padrão, Coeficiente de Variação, variância, erro padrão da média. Comparando as duas amostras, elas apresentam a mesma variabilidade?
Idade (anos) Nível Médio Nível Superior
0 --- 2 23 35
3 --- 5 33 57
6 --- 8 63 41
9 --- 11 68 10
12 --- 14 19 8
15 --- 17 10 0
18 --- 20 1 1
21 --- 23 0 0

Passo 1

O enunciado fornece duas distribuições de frequências agrupadas pela idade dos carros (em anos) para profissionais com nível médio e nível superior, em classes de amplitude h=3. Vamos calcular, para cada amostra:
  1. Tamanho da amostra N.
  2. Média bar x usando os pontos médios de classe.
  3. Mediana aproximada pelo método da classe mediana.
  4. Moda aproximada pelo método da classe modal.
  5. Variância amostral s^2 e desvio padrão s.
  6. Coeficiente de variação CV = 100,s/bar x.
  7. Erro padrão da média SE = s/raizN.
    Por fim, compararemos as variabilidades absolutas e relativas.

Passo 2

Cálculos para profissionais com nível médio.
Classes ,[0,2], [3,5], [6,8], [9,11], [12,14], [15,17], [18,20], [21,23] têm pontos médios
xi = 1,;4,;7,;10,;13,;16,;19,;22
e frequências fi = 23,33,63,68,19,10,1,0.
Soma das frequências:
N = sum fi = 217
Soma dos produtos fi xi:
sum fi xi = 1702 Longrightarrow bar x = 1702217approx 7,85,anos
Soma dos produtos fi xi^2:
sum fi xi^2 = 16570
Variância amostral:
s^2 = sum fi xi^2 - N,bar x^2N-1 = 16570 - 217,(7,8465)^2216 approx 14,84, s approx raiz14,84approx 3,85
Coeficiente de variação:
CV = 100,sbar x approx 100cdot3,857,85approx 49,1%
Erro padrão da média:
SE = sraizN approx 3,85raiz217 approx 0,26
Classe mediana: N/2=108,5 cai em [6,8] com Facumulada anterior=56 e f=63.
Mediana aproximada:
tilde x = 6 + 108,5 - 5663cdot 3 approx 8,50,anos
Classe modal: maior f=68 em [9,11], com f0=63,f1=68,f2=19.
Moda aproximada:
hat x = 9 + 68-632cdot68-63-19cdot3 approx 9,28,anos

Passo 3

Cálculos para profissionais com nível superior.
Frequências fi = 35,57,41,10,8,0,1,0 e mesmos xi.
N = sum fi = 152, sum fi xi = 773 ;Longrightarrow; bar x = 773152approx 5,09,anos
sum fi xi^2 = 5669, s^2 = 5669 - 152,(5,0855)^2151 approx 11,51, s approx raiz11,51approx 3,39
CV = 100,3,395,09approx 66,7%, SE = 3,39raiz152approx 0,28
Mediana: N/2=76 cai em [3,5] com Facant=35, f=57:
tilde x = 3 + 76 - 3557cdot3 approx 5,16,anos
Moda: classe modal [3,5] com f0=35,f1=57,f2=41:
hat x = 3 + 57-352cdot57 -35 -41cdot3 approx 4,74,anos

Passo 4

Comparando variabilidades:
  • Desvio padrão absoluto: srm médioapprox3,85é, srm supapprox3,39. São próximos, mas não idênticos.
  • Coeficiente de variação (variabilidade relativa): CVrm médioapprox49,1%é, CVrm supapprox66,7%. Aqui vemos que a amostra de nível superior é bem mais heterogênea em relação à sua média.

Resposta

Profissionais com nível médio
bar xapprox7,85, mediana approx8,50, moda approx9,28,
s^2approx14,84, sapprox3,85, CVapprox49,1%, SEapprox0,26.
Profissionais com nível superior
bar xapprox5,09, mediana approx5,16, moda approx4,74,
s^2approx11,51, sapprox3,39, CVapprox66,7%, SEapprox0,28.
As duas amostras não apresentam a mesma variabilidade: embora o desvio padrão absoluto seja ligeiramente menor para nível superior, o coeficiente de variação mostra variabilidade relativa muito maior nesse grupo.

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