Se uma função F(x) tiver n derivadas contínuas, a expansão em série de Taylor com resto de F(x0+De<a x) em torno do ponto x0 é
& F(x0+De<a x)=F(x0)+11! F^(1)(x0) De<a x + & 12! F^(2)(x0)(De<a x)^2+cdots+1(n-1)! F^(n-1)(x0)(De<a x)^n-1 + & 1n! F^(n)(x1)(De<a x)^n
em que |x1-x0|<|De<a x|. Use a Eq. (i) para mostrar que, se F(x) tiver quatro derivadas contínuas, então o erro local entre a aproximação de diferença finita de segunda ordem centrada em x0 e (partial^2 F / partial x^2)(x0) satisfaz
|F(x0-De<a x)-2 F(x0)+F(x0+De<a x)(De<a x)^2-partial^2 Fpartial x^2(x0)| <= C(De<a x)^2
em que C é uma constante. Se o tamanho do incremento De<a x for reduzido por um fator de 2, por qual fator será reduzido o erro local?

Passo 1

O enunciado trata da aproximação de segunda derivada de uma função F(x) por diferenças finitas centradas de segunda ordem em torno de x0. O conteúdo principal é usar a expansão de Taylor com resto para F(x0+De<a x) e F(x0-De<a x) até termos de quarta derivada contínua, e daí extrair o termo de erro local.

Passo 2

Escrevemos a expansão de Taylor de quarta ordem para F(x0+De<a x):
F(x0+De<a x)=F(x0)+F'(x0),De<a x+12F''(x0)(De<a x)^2+16F^(3)(x0)(De<a x)^3+124F^(4)(x1)(De<a x)^4,
com l|x1-x0r|<lvertDe<a xrvert.

Passo 3

Analogamente, para F(x0-De<a x) temos
F(x0-De<a x)=F(x0)-F'(x0),De<a x+12F''(x0)(De<a x)^2-16F^(3)(x0)(De<a x)^3+124F^(4)(x2)(De<a x)^4,
com l|x2-x0r|<lvertDe<a xrvert.

Passo 4

Somando as duas expansões, cancelam-se os termos ímpares em De<a x e obtemos
F(x0-De<a x)+F(x0+De<a x) =2F(x0)+F''(x0)(De<a x)^2+124l[F^(4)(x1)+F^(4)(x2)r](De<a x)^4

Passo 5

Daí o numerador da diferença finita centrada é
F(x0-De<a x)-2F(x0)+F(x0+De<a x) =F''(x0)(De<a x)^2+124l[F^(4)(x1)+F^(4)(x2)r](De<a x)^4

Passo 6

Ao dividir por (De<a x)^2, obtemos
F(x0-De<a x)-2F(x0)+F(x0+De<a x)(De<a x)^2 =F''(x0)+(De<a x)^224l[F^(4)(x1)+F^(4)(x2)r]
Seja M=max,|x-x0|<=|De<a x||F^(4)(x)|. Então
l|error| =l|(De<a x)^224l[F^(4)(x1)+F^(4)(x2)r]r| <=(De<a x)^224,2M =underbraceM12C,(De<a x)^2

Passo 7

Concluímos que o erro local satisfaz
l|F(x0-De<a x)-2F(x0)+F(x0+De<a x)(De<a x)^2-F''(x0)r|<= C,(De<a x)^2
Como o erro é da ordem de (De<a x)^2, se reduzirmos De<a x por 2, o erro é reduzido por um fator (1/2)^2=1/4.

Resposta

Se De<a x é reduzido por 2, o erro local é reduzido por um fator 4.

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