Se uma função tiver derivadas contínuas, a expansão em série de Taylor com resto de em torno do ponto é
em que . Use a Eq. (i) para mostrar que, se tiver quatro derivadas contínuas, então o erro local entre a aproximação de diferença finita de segunda ordem centrada em e satisfaz
em que C é uma constante. Se o tamanho do incremento De<a x for reduzido por um fator de 2, por qual fator será reduzido o erro local?
Passo 1
O enunciado trata da aproximação de segunda derivada de uma função F(x) por diferenças finitas centradas de segunda ordem em torno de x0. O conteúdo principal é usar a expansão de Taylor com resto para F(x0+De<a x) e F(x0-De<a x) até termos de quarta derivada contínua, e daí extrair o termo de erro local.
Passo 2
Escrevemos a expansão de Taylor de quarta ordem para F(x0+De<a x):