Se f, g: R R são funções tais que lim x +infty f(x)g(x)=+infty, então lim x +infty(f(x)-g(x))=+infty.

Passo 1

O enunciado questiona se de
limxto+infty f(x)g(x) = +infty
decorreria necessariamente
limxto+infty l(f(x)-g(x)r) = +infty
Vamos ver que essa implicação é falsa, exibindo um contra-exemplo.

Passo 2

Queremos funções que façam a razão explodir, mas cuja diferença permaneça limitada. Para isso, basta escolher g(x) tendendo a zero e f(x) tendendo a um valor fixo não nulo.

Passo 3

Definimos
f(x) = 1, g(x) = 1x
Então
f(x)g(x) = 11/x = x,
e portanto
limxto+inftyf(x)g(x) = +infty,
satisfeita a hipótese.

Passo 4

Por outro lado,
f(x) - g(x) = 1 - 1x,
e assim
limxto+inftyl(f(x)-g(x)r) = 1,
que é finito, não +infty.

Passo 5

Como encontramos funções que satisfazem limxto+infty f(x)g(x)=+infty mas não levam a limxto+infty(f(x)-g(x))=+infty, a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
f(x)=1, g(x)=1x

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