Se
são funções tais que
, então
.
Passo 1
O enunciado questiona se de
decorreria necessariamente
Vamos ver que essa implicação é falsa, exibindo um contra-exemplo.
Passo 2
Queremos funções que façam a razão explodir, mas cuja diferença permaneça limitada. Para isso, basta escolher
tendendo a zero e
tendendo a um valor fixo não nulo.
Passo 3
Definimos
Então
e portanto
satisfeita a hipótese.
Passo 4
Por outro lado,
e assim
que é finito, não
.
Passo 5
Como encontramos funções que satisfazem
mas não levam a
, a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é