Q 4 Verifique quais dos seguintes conjuntos abaixo:
(a) ;
(b) ;
(c) ;
(d) .
(i) São LI;
(ii) Geram os espaços considerados;
(iii) São bases dos espaços considerados;

Passo 1

O enunciado dá quatro conjuntos de vetores em espaços vetoriais V distintos e pede, para cada um, se
(i) é linearmente independente (LI),
(ii) gera V (isto é, se seu span é todo V),
(iii) é base de V (o que equivale a ser LI e gerar).

Passo 2

Lembrando:
– Um conjunto é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes zero).
– Um conjunto gera V se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
– Uma base de V precisa ser ao mesmo tempo LI e gerar V. Também vale que, em um espaço de dimensão n, toda base tem exatamente n vetores.

Passo 3

Dimensões dos espaços e tamanhos dos conjuntos:
(a) em R^3 (dimensão 3) há 3 vetores;
(b) em R^2 (dimensão 2) há 3 vetores;
(c) em M2(R) (dimensão 4) há 4 matrizes;
(d) em M2times3(R) (dimensão 6) há 3 matrizes.

Passo 4

Conjunto (a):
v1 = (1,1,-1), v2 = (2,2,1), v3 = (1,1,1).
Analisamos alpha v1+beta v2+gamma v3=0, o que leva ao sistema
alpha+2beta+gamma=0, -alpha+beta+gamma=0
Dessa forma surgem soluções não triviais (por exemplo beta=-tfrac23t,gamma=t,alpha=tfrac13t), logo o conjunto é linearmente dependente. Em consequência não pode gerar R^3 (o rank é 2) e também não é base.

Passo 5

Conjunto (b):
w1 = (-1,1), w2 = (1,1), w3 = (1,2).
Primeiro notamos que w1 e w2 já são LI e formam base de R^2. O vetor w3 está em seu span ( w3=tfrac12,w1+tfrac32,w2), então o conjunto todo é linearmente dependente, mas ainda gera R^2. Como falta independência, não é base.

Passo 6

Conjunto (c):
A1=1 & -11 & -1,; A2=-1 & 11 & -1,; A3=1 & -10 & 0,; A4=1 & 1-1 & -1
Vectorizando em R^4 e impondo
alpha A1+beta A2+gamma A3+de<a A4=0,
chegamos a um parâmetro livre não trivial (por exemplo alphaneq0 leva a beta=-alpha,gamma=-2alpha,de<a=0), logo são linearmente dependentes. O rank cai a 3, então não geram todo M2(R) e tampouco formam base.

Passo 7

Conjunto (d):
B1=0 & 2 & 02 & 0 & 0,; B2=3 & 0 & 00 & 0 & 0,; B3=0 & 0 & 00 & 1 & 0
Vectorizando em R^6, qualquer combinação alpha B1+beta B2+gamma B3=0 força alpha=beta=gamma=0, logo são LI. Mas são só 3 vetores num espaço de dimensão 6, então não geram tudo e não são base.

Resposta

(a) (i) não; (ii) não; (iii) não
(b) (i) não; (ii) sim; (iii) não
(c) (i) não; (ii) não; (iii) não
(d) (i) sim; (ii) não; (iii) não

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