Q 4 Verifique quais dos seguintes conjuntos abaixo:
(a)
;
(b)
;
(c) ;
(d) .
(i) São LI;
(ii) Geram os espaços
considerados;
(iii) São bases dos espaços
considerados;
(a)
(b)
(c) ;
(d) .
(i) São LI;
(ii) Geram os espaços
(iii) São bases dos espaços
Passo 1
O enunciado dá quatro conjuntos de vetores em espaços vetoriais
distintos e pede, para cada um, se
(i) é linearmente independente (LI),
(ii) gera (isto é, se seu span é todo
),
(iii) é base de (o que equivale a ser LI e gerar).
(i) é linearmente independente (LI),
(ii) gera
(iii) é base de
Passo 2
Lembrando:
– Um conjunto é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes zero).
– Um conjunto gera se todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
– Uma base de precisa ser ao mesmo tempo LI e gerar
. Também vale que, em um espaço de dimensão
, toda base tem exatamente
vetores.
– Um conjunto é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes zero).
– Um conjunto gera
– Uma base de
Passo 3
Dimensões dos espaços e tamanhos dos conjuntos:
(a) em (dimensão
) há
vetores;
(b) em (dimensão
) há
vetores;
(c) em (dimensão
) há
matrizes;
(d) em (dimensão
) há
matrizes.
(a) em
(b) em
(c) em
(d) em
Passo 4
Conjunto (a):
,
,
.
Analisamos , o que leva ao sistema
Analisamos
Dessa forma surgem soluções não triviais (por exemplo
), logo o conjunto é linearmente dependente. Em consequência não pode gerar
(o rank é
) e também não é base.
Passo 5
Conjunto (b):
,
,
.
Primeiro notamos que e
já são LI e formam base de
. O vetor
está em seu span (
), então o conjunto todo é linearmente dependente, mas ainda gera
. Como falta independência, não é base.
Primeiro notamos que
Passo 6
Conjunto (c):
Vectorizando em e impondo
,
chegamos a um parâmetro livre não trivial (por exemplo leva a
), logo são linearmente dependentes. O rank cai a
, então não geram todo
e tampouco formam base.
Vectorizando em
chegamos a um parâmetro livre não trivial (por exemplo
Passo 7
Conjunto (d):
Vectorizando em , qualquer combinação
força
, logo são LI. Mas são só
vetores num espaço de dimensão
, então não geram tudo e não são base.
Vectorizando em
Resposta
(a) (i) não; (ii) não; (iii) não
(b) (i) não; (ii) sim; (iii) não
(c) (i) não; (ii) não; (iii) não
(d) (i) sim; (ii) não; (iii) não
(b) (i) não; (ii) sim; (iii) não
(c) (i) não; (ii) não; (iii) não
(d) (i) sim; (ii) não; (iii) não