Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
W=[(1,0,0) ;(0,5,-2) ;(-1,0,2) ;(0,5,0)];

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
W=span(1,0,0),;(0,5,-2),;(-1,0,2),;(0,5,0)
de R^3 e pede uma base e a dimensão de W. Vamos usar o conceito de posto (rank) de uma matriz cujas colunas são esses vetores, para identificar quais vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Organizamos os vetores como colunas da matriz
A= 1 & 0 & -1 & 0 0 & 5 & 0 & 5 0 & -2& 2 & 0
Aplicamos eliminação de Gauss para encontrar o posto de A:
  1. O pivô na coluna 1 já está em A11=1, não há linhas a trocar.
  2. Na coluna 2, o pivô é A22=5neq0.
  3. Para zerar A32=-2, fazemos L3 L3 + 25L2 e obtemos na linha 3 um novo vetor (0,0,2,2), cujo pivô está na coluna 3.
Após essas operações vemos que existem pivôs nas colunas 1, 2 e 3, mas não na coluna 4.

Passo 3

Como há pivôs em três colunas distintas, rank(A)=3. Logo dim(W)=3. Os vetores correspondentes às colunas pivô formam uma base de W.

Passo 4

As colunas pivô são as colunas 1, 2 e 3 de A, ou seja os vetores
v1=(1,0,0), v2=(0,5,-2), v3=(-1,0,2)
Eles são linearmente independentes e geram W.

Resposta

Uma possível base de W é
(1,0,0),;(0,5,-2),;(-1,0,2),
e dim(W)=3.

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