Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: ;
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
de e pede uma base e a dimensão de . Vamos usar o conceito de posto (rank) de uma matriz cujas colunas são esses vetores, para identificar quais vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Organizamos os vetores como colunas da matriz
Aplicamos eliminação de Gauss para encontrar o posto de A:
O pivô na coluna 1 já está em A11=1, não há linhas a trocar.
Na coluna 2, o pivô é A22=5neq0.
Para zerar A32=-2, fazemos L3 L3 + 25L2 e obtemos na linha 3 um novo vetor (0,0,2,2), cujo pivô está na coluna 3.
Após essas operações vemos que existem pivôs nas colunas 1, 2 e 3, mas não na coluna 4.
Passo 3
Como há pivôs em três colunas distintas, rank(A)=3. Logo dim(W)=3. Os vetores correspondentes às colunas pivô formam uma base de W.
Passo 4
As colunas pivô são as colunas 1, 2 e 3 de A, ou seja os vetores